Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a . Gọi D là trung điểm của AB. Điểm E di chuyển trên cạnh AC. Gọi H,K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ D, E đến BC . Tính diện tích lớn nhất của hình thang DEKH . Khi đó hình thang trở thành hình gì ?

S_ADME lớn nhất $\iff$ $\frac{S_{ADME}}{S_{ABC}}$  lớn nhất

Kẻ BK vuông góc AC cắt MD ở H.

S_ADME = MD . HK

S_ABC = $\frac{1}{2}$ AC . BK

$\frac{S_{ADME}}{S_{ABC}}=2.\frac{MD}{AC}.\frac{HK}{BK}$

Đặt MB = x , MC = y ,

MD//AC ta có : $\frac{MD}{AC}=\frac{BM}{BC}=\frac{x}{x+y}; \frac{HK}{BK}=\frac{MC}{BC}=\frac{y}{x+y}$   

Theo bất đẳng thức   $\frac{xy}{{\left(x+y\right)}^2}\le \frac{1}{4}\text{\hspace{0.17em}⇒}\frac{S_{ADME}}{S_{ABC}}=\frac{2xy}{{\left(x+y\right)}^2}\le \frac{1}{2}$ 

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y

Vậy max S_ADME =$\frac{1}{2}$ S_ABC khi đó M là trung điểm của BC.

Ta có : S_MCD = $\frac{1}{2}$ MC.MD

Đặt MA = a , MB = b

 $\widehat{AMC}=\widehat{\text{BDM}}=\alpha$

MC =  $\frac{a}{c\text{os}\alpha }$, MD =$\frac{b}{\sin \alpha }$

S_MCD = $\frac{1}{2}.\frac{ab}{c\text{os}\alpha .\sin \alpha }$

Do a,b là hằng số nên S_MCD nhỏ nhất $\iff$ 2sina.cosa   lớn nhất .

Theo bất đẳng thức     2xy $⩽$ x² +y²    ta có :

2sina.cosa   $⩽$ sin²a +cos²a = 1         nên      S_MCD ≥ ab

S_MCD = ab $\iff$ sina = cosa $\iff$ sina = sin(90⁰-a) $\iff$ a = 90⁰-a $\iff$ a = 45⁰

$\iff$ Tam giác AMC và tam giác BMD vuông cân.