Câu hỏi:

20/10/2022 1,616

Cho điểm M nằm trên đoạn thẳng AB .Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB . Qua M có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D . Xác định vị trí của các điểm C,D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất .

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Ta có : SMCD = 12 MC.MD

Đặt MA = a , MB = b

 AMC^=BDM^=α

MC =  acosα, MD =bsinα

SMCD12.abcosα.sinα

Do a,b là hằng số nên SMCD nhỏ nhất 2sina.cosa   lớn nhất .

Theo bất đẳng thức     2xy x2 +y2    ta có :

2sina.cosa   sin2a +cos2a = 1         nên      SMCD ≥ ab

SMCD = ab sina = cosa sina = sin(900-a) a = 900-a a = 450

Tam giác AMC và tam giác BMD vuông cân.

Vậy min SMCD = ab. Khi đó các điểm C,D được xác định trên tia Ax ; By sao cho AC = AM , BD = BM

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Media VietJack

SADME lớn nhất  SADMESABC  lớn nhất

Kẻ BK vuông góc AC cắt MD ở H.

SADME = MD . HK

SABC = 12 AC . BK

SADMESABC=2.MDAC.HKBK

Đặt MB = x , MC = y ,

MD//AC ta có : MDAC=BMBC=xx+y; HKBK=MCBC=yx+y   

Theo bất đẳng thức   xyx+y214 ⇒SADMESABC=2xyx+y212 

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y

Vậy max SADME =12 SABC khi đó M là trung điểm của BC.

Lời giải

Media VietJack

Đặt MA =x , MB = y

Ta có : x + y =AB (0 < x,y < AB)

Gọi S và S’ theo thứ tự là diện tích của hai hình tròn có đường kính là MA và MB .

Ta có: S +S’ = πx22+πy22 = π.x2+y24

Ta có bất đẳng thức :x2+y2x+y22 nên :

S +S’ π.x+y28=π.AB28

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

Do đó min (S+S’) =  π.AB28. Khi đó M là trung điểm của AB.