Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt các đường thẳng BC và BD lần lượt tại E và F. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF.

Xác định vị trí của đường kính CD để tam giác BPQ có diện tích nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Toán 9 Chủ đề 7: Cực trị hình học có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

$S_{B P Q} = \frac{1}{2} A B (A P + A Q) = \frac{1}{4} A B . (A E + A F)$ (3)

Áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm AE và AF ta có: AE + AF (4)

( Dấu “=” xảy ra AE =AF)

Từ (3) và (4) (5) $\Rightarrow S_{Δ B P Q} \geq \frac{1}{2} . A B . \sqrt{A E . A F}$

Lại có: Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông EBF ta có:

AE.AF = AB2 (6) Từ (5) và (6) ta có SBPQ $\geq \frac{A B^{2}}{2}$

Xảy ra dấu bằng khi AE = AF

$\Rightarrow$ Tam giác EBF vuông cân tại B

$\Leftrightarrow$ ACBD là hình vuông nên CD vuông góc AB

Vậy: Khi đường kính CD vuông góc với đường kính AB thì tam giác PBQ có diện tích nhỏ nhất

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD có IO là bán kính.

Theo tính chất tiếp tuyến ta có AC ^ AB; BD ^ AB => AC // BD => tứ giác ACDB là hình thang. Lại có I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB => IO là đường trung bình của hình thang ACDB

IO // AC, mà AC ^ AB => IO ^ AB tại O => AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD

Câu 2

Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax, By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.

Chứng minh $\hat{C O D} = 90^{0}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: OC là tia phân giác của góc AOM; OD là tia phân giác của góc BOM, mà $\hat{A O M}$ và $\hat{B O M}$ là hai góc kề bù => $\hat{C O D}$ = 900.

Câu 3