Câu hỏi:

01/12/2022 228

Tính đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 2}}\)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta có \(y' = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}},y'' = - \frac{{3{{\left[ {{{(x + 2)}^2}} \right]}^'}}}{{{{(x + 2)}^4}}} = \frac{{ - 3.2}}{{{{(x + 2)}^3}}}\)

\(y''' = \frac{{3.2.3}}{{{{(x + 2)}^4}}}\). Ta chứng minh \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}.3.n!}}{{{{(x + 2)}^{n + 1}}}}\)

\( \bullet \) Với \(n = 1 \Rightarrow y' = \frac{{{{( - 1)}^0}.3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{3}{{{{(x + 2)}^2}}}\) đúng

\( \bullet \) Giả sử \({y^{(k)}} = \frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}.3.k!}}{{{{(x + 2)}^{k + 1}}}}\)

\( \Rightarrow {y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = - \frac{{{{( - 1)}^{k - 1}}.3.k!.\left[ {{{(x + 2)}^{k + 1}}} \right]'}}{{{{(x + 2)}^{2k + 2}}}} = \frac{{{{( - 1)}^k}.3.(k + 1)!}}{{{{(x + 2)}^{k + 2}}}}\)

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Ta có: \(y' = 2{\rm{cos2}}x\); \[y'' = - 4{\rm{sin2}}x\]. \[ \Rightarrow 4y + y'' = 0\].

Lời giải

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: \(y = f\left( x \right)\)\( = \frac{{ - {x^2} + x + 2}}{{x - 1}}\)\( = - x + \frac{2}{{x - 1}}\) \[ \Rightarrow y' = - 1 - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\]; \[y'' = \frac{4}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP