Câu hỏi:
01/12/2022 380Tính đạo hàm cấp n của hàm số \(y = \frac{1}{{ax + b}},a \ne 0\)
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có \(y' = \frac{{ - a}}{{{{(ax + b)}^2}}},y'' = \frac{{{a^2}.2}}{{{{(ax + b)}^3}}},y''' = \frac{{ - {a^3}.2.3}}{{{{(ax + b)}^4}}}\)
Ta chứng minh: \({y^{(n)}} = \frac{{{{( - 1)}^n}.{a^n}.n!}}{{{{(ax + b)}^{n + 1}}}}\)
\( \bullet \) Với \(n = 1 \Rightarrow y' = \frac{{{{( - 1)}^1}.{a^1}.1!}}{{{{(ax + b)}^2}}} = - \frac{a}{{{{(ax + b)}^2}}}\) đúng
\( \bullet \) Giả sử \({y^{(k)}} = \frac{{{{( - 1)}^k}.{a^k}.k!}}{{{{(ax + b)}^{k + 1}}}}\)
\( \Rightarrow {y^{(k + 1)}} = \left( {{y^{(k)}}} \right)' = - \frac{{{{( - 1)}^k}.{a^k}.k!.\left[ {{{(ax + b)}^{k + 1}}} \right]'}}{{{{(ax + b)}^{2k + 2}}}} = \frac{{{{( - 1)}^{k + 1}}.{a^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{{(x + 2)}^{k + 2}}}}\)
Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.
Quảng cáo
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 4:
Cho hàm số \(y = \sin 2x\). Tính \(y'''(\frac{\pi }{3})\), \({y^{(4)}}(\frac{\pi }{4})\)
Câu 5:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^3}\). Giá trị \(f''\left( 0 \right)\) bằng
Câu 6:
Hàm số \[y = {\left( {{x^2} + {\rm{ }}1} \right)^3}\] có đạo hàm cấp ba là:
về câu hỏi!