Câu hỏi:

27/01/2023 13,841

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi MN lần lượt là trung điểm của hai cạnh SABC, biết MN=a62 . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD  bằng

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi I hình chiếu của M lên ABCD , suy ra I là trung điểm của AO.

Khi đó CI=34AC=3a24 .

Xét ΔCNI  CN=a2,NCI^=45° .

Áp dụng định lý cosin ta có:

NI=CN2+CI22CN.CI.cos45°=a24+9a282.a2.3a24.22=a104

Xét ΔMIN  vuông tại I nên

MI=MN2NI2=3a225a28=a144

MI // SO, MI=12SOSO=a142 .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:

Ta có O0;0;0, B0;22;0, D0;22;0, C22;0;0, N24;24;0 ,

A22;0;0, S0;0;142, M24;0;144

Khi đó MN=22;24;144, SB=0;22;142, SD=0;22;142 .

Vecto pháp tuyến mặt phẳng SBD : n=12SB;SD=7;0;0 .

Suy ra sinMN,SBD=MN.nMN.n=7.227.62=33 .

Chọn B.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Media VietJack

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, chọn a là 1 đơn vị độ dài.

A1;0;0, B1;0;0, C1;4;0, D1;4;0,0;0;63,2;0;63,1;4;63,0;4;63E1;2;0, N0;3;0, M12;0;632MN12;3;632, AD'1;4;63 

cosMN,AD'^=cosMN,AD'=MN.AD'MN.AD=12+126325.4.5=15 .

tan2α=1cos2α1=4; tanα>0tanα=2 .

Chọn A.

Lời giải

Media VietJack

Để thuận tiện trong việc tính toán ta chọn a=1 .

Trong không gian, gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS.

Khi đó A0;0;0, B1;0;0, C1;1;0, S0;0;2, D0;1;0 .

M là trung điểm SD nên tọa độ MM0;12;1 .

Ta có SB=1;0;2BC=0;1;0nSBC=SB;BC=2;0;1 .

AM=0;12;1AC=1;1;0nAMC=AM;AC=1;1;12

Góc α  là góc giữa hai mặt phẳng AMC  SBC .

Suy ra cosα=cosnSBC;nAMC=nSBC.nAMCnSBC.nAMC=53 .

Mặt khác, 1+tan2α=1cos2αtanα=1cos2α1 .

Vậy tanα=15321=255 .

Chọn D.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP