Câu hỏi:

27/01/2023 11,102

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết $M N = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $(S B D)$ bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{5}$

B.

\frac{\sqrt{3}}{3}

Đáp án chính xác

C.

\frac{\sqrt{5}}{5}

D.

\sqrt{3}

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Ứng dụng của hình học Oxyz có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi I hình chiếu của M lên $(A B C D)$ , suy ra I là trung điểm của AO.

Khi đó $C I = \frac{3}{4} A C = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}$ .

Xét $Δ C N I$ có $C N = \frac{a}{2}, \hat{N C I} = 45 °$ .

Áp dụng định lý cosin ta có:

$N I = \sqrt{C N^{2} + C I^{2} - 2 C N . C I . \cos 45 °} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{9 a^{2}}{8} - 2. \frac{a}{2} . \frac{3 a \sqrt{2}}{4} . \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{4}$

Xét $Δ M I N$ vuông tại I nên

$M I = \sqrt{M N^{2} - N I^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{2} - \frac{5 a^{2}}{8}} = \frac{a \sqrt{14}}{4}$

Mà $M I // SO, MI = \frac{1}{2} S O \Rightarrow S O = \frac{a \sqrt{14}}{2}$ .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:

Ta có $O (0; 0; 0), B (0; \frac{\sqrt{2}}{2}; 0), D (0; - \frac{\sqrt{2}}{2}; 0), C (\frac{\sqrt{2}}{2}; 0; 0), N (\frac{\sqrt{2}}{4}; \frac{\sqrt{2}}{4}; 0)$ ,

$A (- \frac{\sqrt{2}}{2}; 0; 0), S (0; 0; \frac{\sqrt{14}}{2}), M (- \frac{\sqrt{2}}{4}; 0; \frac{\sqrt{14}}{4})$

Khi đó $\vec{M N} = (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{4}; - \frac{\sqrt{14}}{4}), \vec{S B} = (0; \frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{14}}{2}), \vec{S D} = (0; - \frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{14}}{2})$ .

Vecto pháp tuyến mặt phẳng $(S B D)$ : $\vec{n} = \frac{1}{2} [\vec{S B}; \vec{S D}] = (- \sqrt{7}; 0; 0)$ .

Suy ra $\sin (M N, (S B D)) = \frac{|\vec{M N} . \vec{n}|}{|\vec{M N}| . |\vec{n}|} = \frac{|- \sqrt{7} . \frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{7} . \frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Chọn B.

Bình luận

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A M C)$ và $(S B C)$ bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

C.

\frac{\sqrt{5}}{5}

D.

\frac{2 \sqrt{5}}{5}

Xem đáp án » 27/01/2023 1,550

Câu 2:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng $(A B C D)$ là trung điểm H của AB. Cho $A B = 2 a; A D = 4 a$ ; $A A' = 8 a$ . Gọi E, N, M lần lượt là trung điểm của BC, DE, $A^{'} B$ . Gọi $α$ là góc giữa MN và AD'. Tính $\tan α$ .

A. $\tan α = 2$

B.

\tan α = \sqrt{2}

C.

\tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}

D.

\tan α = - 2

Xem đáp án » 27/01/2023 1,446

Câu 3:

Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=AB=3cm, BC=5cm và diện tích tam giác SAC bằng $6 c m^{2}$ . Một mặt phẳng $(α)$ thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS, AB, AC lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất $T_{m}$ của biểu thức $T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{A P^{2}}$ .

A. $T_{m} = \frac{8}{17}$

B.

T_{m} = \frac{41}{144}

C.

T_{m} = \frac{1}{10}

D.

T_{m} = \frac{1}{34}

Xem đáp án » 27/01/2023 651

Câu 4:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm O của cạnh AB. Góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ là $60 °$ . Gọi I là trung điểm cạnh B'C'. Khoảng cách từ I đến đường thẳng A'C bằng

A.

\frac{a \sqrt{21}}{4}

B.

\frac{a \sqrt{42}}{6}

C.

\frac{a \sqrt{21}}{6}

D.

\frac{a \sqrt{42}}{8}

Xem đáp án » 27/01/2023 540

Câu 5:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm $A (1; 1; 1), B (2; 0; 2), C (- 1; - 1; 0), D (0; 3; 4)$ . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm $B^{'}, C', D'$ sao cho $\frac{A B}{A B^{'}} + \frac{A C}{A C^{'}} + \frac{A D}{A D^{'}} = 4$ và tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng $(B^{'} C^{'} D^{'})$ là

A. $16 x - 40 y - 44 z + 39 = 0$

B.

16 x - 40 y - 44 z - 39 = 0

C.

16 x + 40 y + 44 z - 39 = 0

D.

16 x + 40 y - 44 z + 39 = 0

Xem đáp án » 27/01/2023 363

Câu 6:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân, $A B = A C = a, = h (a, h > 0)$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.

A. $\frac{a h}{\sqrt{a^{2} + 5 h^{2}}}$

B.

\frac{a h}{\sqrt{5 a^{2} + h^{2}}}

C.

\frac{a h}{\sqrt{2 a^{2} + h^{2}}}

D.

\frac{a h}{\sqrt{a^{2} + h^{2}}}

Xem đáp án » 27/01/2023 284

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết $M N = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $(S B D)$ bằng

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A M C)$ và $(S B C)$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân, $A B = A C = a, = h (a, h > 0)$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết MN=a62 . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD bằng

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng AMC và SBC bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân,AB=AC=a,=ha,h>0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A M C)$ và $(S B C)$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân, $A B = A C = a, = h (a, h > 0)$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.