Câu hỏi:

27/01/2023 946

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A M C)$ và $(S B C)$ bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B.

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

C.

\frac{\sqrt{5}}{5}

D.

\frac{2 \sqrt{5}}{5}

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Ứng dụng của hình học Oxyz có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Để thuận tiện trong việc tính toán ta chọn $a = 1$ .

Trong không gian, gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao cho gốc O trùng với điểm A, tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AD, tia Oz trùng với tia AS.

Khi đó $A (0; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 1; 0), S (0; 0; 2), D (0; 1; 0)$ .

Vì M là trung điểm SD nên tọa độ M là $M (0; \frac{1}{2}; 1)$ .

Ta có $\{\begin{cases} \vec{S B} = (1; 0; - 2) \\ \vec{B C} = (0; 1; 0) \end{cases} \Rightarrow {\vec{n}}_{(S B C)} = [\vec{S B}; \vec{B C}] = (2; 0; 1)$ .

$\{\begin{cases} \vec{A M} = (0; \frac{1}{2}; 1) \\ \vec{A C} = (1; 1; 0) \end{cases} \Rightarrow {\vec{n}}_{(A M C)} = [\vec{A M}; \vec{A C}] = (- 1; 1; \frac{- 1}{2})$

Góc $α$ là góc giữa hai mặt phẳng $(A M C)$ và $(S B C)$ .

Suy ra $\cos α = |\cos ({\vec{n}}_{(S B C)}; {\vec{n}}_{(A M C)})| = \frac{|{\vec{n}}_{(S B C)} . {\vec{n}}_{(A M C)}|}{|{\vec{n}}_{(S B C)}| . |{\vec{n}}_{(A M C)}|} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

Mặt khác, $1 + \tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} \Rightarrow \tan α = \sqrt{\frac{1}{\cos^{2} α} - 1}$ .

Vậy $\tan α = \sqrt{\frac{1}{{(\frac{\sqrt{5}}{3})}^{2}} - 1} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Chọn D.

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết $M N = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $(S B D)$ bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{5}$

B.

\frac{\sqrt{3}}{3}

C.

\frac{\sqrt{5}}{5}

D.

\sqrt{3}

Xem đáp án » 27/01/2023 5,218

Câu 2:

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng $(A B C D)$ là trung điểm H của AB. Cho $A B = 2 a; A D = 4 a$ ; $A A' = 8 a$ . Gọi E, N, M lần lượt là trung điểm của BC, DE, $A^{'} B$ . Gọi $α$ là góc giữa MN và AD'. Tính $\tan α$ .

A. $\tan α = 2$

B.

\tan α = \sqrt{2}

C.

\tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}

D.

\tan α = - 2

Xem đáp án » 27/01/2023 1,031

Câu 3:

Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=AB=3cm, BC=5cm và diện tích tam giác SAC bằng $6 c m^{2}$ . Một mặt phẳng $(α)$ thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS, AB, AC lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất $T_{m}$ của biểu thức $T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{A P^{2}}$ .

A. $T_{m} = \frac{8}{17}$

B.

T_{m} = \frac{41}{144}

C.

T_{m} = \frac{1}{10}

D.

T_{m} = \frac{1}{34}

Xem đáp án » 27/01/2023 536

Câu 4:

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm O của cạnh AB. Góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ là $60 °$ . Gọi I là trung điểm cạnh B'C'. Khoảng cách từ I đến đường thẳng A'C bằng

A.

\frac{a \sqrt{21}}{4}

B.

\frac{a \sqrt{42}}{6}

C.

\frac{a \sqrt{21}}{6}

D.

\frac{a \sqrt{42}}{8}

Xem đáp án » 27/01/2023 378

Câu 5:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm $A (1; 1; 1), B (2; 0; 2), C (- 1; - 1; 0), D (0; 3; 4)$ . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm $B^{'}, C', D'$ sao cho $\frac{A B}{A B^{'}} + \frac{A C}{A C^{'}} + \frac{A D}{A D^{'}} = 4$ và tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng $(B^{'} C^{'} D^{'})$ là

A. $16 x - 40 y - 44 z + 39 = 0$

B.

16 x - 40 y - 44 z - 39 = 0

C.

16 x + 40 y + 44 z - 39 = 0

D.

16 x + 40 y - 44 z + 39 = 0

Xem đáp án » 27/01/2023 301

Câu 6:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân, $A B = A C = a, = h (a, h > 0)$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.

A. $\frac{a h}{\sqrt{a^{2} + 5 h^{2}}}$

B.

\frac{a h}{\sqrt{5 a^{2} + h^{2}}}

C.

\frac{a h}{\sqrt{2 a^{2} + h^{2}}}

D.

\frac{a h}{\sqrt{a^{2} + h^{2}}}

Xem đáp án » 27/01/2023 253

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A M C)$ và $(S B C)$ bằng

Nhà sách VIETJACK:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết $M N = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $(S B D)$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân, $A B = A C = a, = h (a, h > 0)$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng AMC và SBC bằng

Nhà sách VIETJACK:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết MN=a62 . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân,AB=AC=a,=ha,h>0 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A M C)$ và $(S B C)$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân, $A B = A C = a, = h (a, h > 0)$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.