Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm $A\left(1;1;1\right), \text{B}\left(2;0;2\right),\text{ C}\left(-1;-1;0\right),\text{ D}\left(0;3;4\right)$. Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm $B^{\text{'}},C\text{'}, D\text{'}$  sao cho $\frac{AB}{A{B}^{\text{'}}}+\frac{AC}{A{C}^{\text{'}}}+\frac{AD}{A{D}^{\text{'}}}=4$  và tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng $\left(B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)$  là

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết $MN=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $\left(SBD\right)$  bằng

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$  là trung điểm H của AB. Cho $AB=2a;AD=4a$ ; $AA\text{'}=8a$ . Gọi E, N, M lần lượt là trung điểm của BC, DE, $A^{\text{'}}B$ . Gọi $\alpha$  là góc giữa MN và AD'. Tính $\tan \alpha$ .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left(AMC\right)$  và $\left(SBC\right)$  bằng

Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=AB=3cm, BC=5cm và diện tích tam giác SAC bằng $6c{m}^2$ . Một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS, AB, AC lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất $T_m$  của biểu thức $T=\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{A{N}^2}+\frac{1}{A{P}^2}$ .

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là trung điểm O của cạnh AB. Góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng $\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$  là $60°$ . Gọi I là trung điểm cạnh B'C'. Khoảng cách từ I đến đường thẳng A'C bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân,$AB=AC=a,=h\left(a,h>0\right)$   . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.