Câu hỏi:

27/01/2023 1,396

Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=AB=3cm, BC=5cm và diện tích tam giác SAC bằng $6 c m^{2}$ . Một mặt phẳng $(α)$ thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS, AB, AC lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất $T_{m}$ của biểu thức $T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{A P^{2}}$ .

A. $T_{m} = \frac{8}{17}$

T_{m} = \frac{41}{144}

T_{m} = \frac{1}{10}

T_{m} = \frac{1}{34}

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Ứng dụng của hình học Oxyz có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gắn trục t $C (0; 4; 0), S (0; 0; 3)$ ọa độ Ox, Oy, Oz như hình vẽ.

Media VietJack

Vì tam giác SAC vuông tại A

$\Rightarrow A C = \frac{2 S_{Δ S A C}}{S A} = 4 c m$

Vì $A C^{2} + A B^{2} = B C^{2}$ nên tam giác ABC vuông tại A.

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.

Ta có $A (0; 0; 0), B (3; 0; 0)$ ,

Vì G là trọng tâm của tứ diện S.ABC nên ta có:

$\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{S} + x_{A} + x_{B} + x_{C}}{4} = \frac{3}{4} \\ y_{G} = \frac{y_{S} + y_{A} + y_{B} + y_{C}}{4} = 1 \\ z_{G} = \frac{z_{S} + z_{A} + z_{B} + z_{C}}{4} = \frac{3}{4} \end{cases} \Rightarrow G (\frac{3}{4}; 1; \frac{3}{4})$

Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng $(α)$ . Theo tính chất của tam diện vuông ta có: $T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{A P^{2}} = \frac{1}{A H^{2}}$ .

Mà $A H \leq A G \Rightarrow T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{A P^{2}} = \frac{1}{A H^{2}} \geq \frac{1}{A G^{2}} \Rightarrow T \geq \frac{8}{17}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $H \equiv G$ tức mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm G và vuông góc với đường thẳng OG.

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng $\frac{8}{17}$ .

Chọn A.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết $M N = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $(S B D)$ bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{5}$

\frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{5}}{5}

\sqrt{3}

Lời giải

Media VietJack

Gọi I hình chiếu của M lên $(A B C D)$ , suy ra I là trung điểm của AO.

Khi đó $C I = \frac{3}{4} A C = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}$ .

Xét $Δ C N I$ có $C N = \frac{a}{2}, \hat{N C I} = 45 °$ .

Áp dụng định lý cosin ta có:

$N I = \sqrt{C N^{2} + C I^{2} - 2 C N . C I . \cos 45 °} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{9 a^{2}}{8} - 2. \frac{a}{2} . \frac{3 a \sqrt{2}}{4} . \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{4}$

Xét $Δ M I N$ vuông tại I nên

$M I = \sqrt{M N^{2} - N I^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{2} - \frac{5 a^{2}}{8}} = \frac{a \sqrt{14}}{4}$

Mà $M I // SO, MI = \frac{1}{2} S O \Rightarrow S O = \frac{a \sqrt{14}}{2}$ .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:

Ta có $O (0; 0; 0), B (0; \frac{\sqrt{2}}{2}; 0), D (0; - \frac{\sqrt{2}}{2}; 0), C (\frac{\sqrt{2}}{2}; 0; 0), N (\frac{\sqrt{2}}{4}; \frac{\sqrt{2}}{4}; 0)$ ,

$A (- \frac{\sqrt{2}}{2}; 0; 0), S (0; 0; \frac{\sqrt{14}}{2}), M (- \frac{\sqrt{2}}{4}; 0; \frac{\sqrt{14}}{4})$

Khi đó $\vec{M N} = (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{4}; - \frac{\sqrt{14}}{4}), \vec{S B} = (0; \frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{14}}{2}), \vec{S D} = (0; - \frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{14}}{2})$ .

Vecto pháp tuyến mặt phẳng $(S B D)$ : $\vec{n} = \frac{1}{2} [\vec{S B}; \vec{S D}] = (- \sqrt{7}; 0; 0)$ .

Suy ra $\sin (M N, (S B D)) = \frac{|\vec{M N} . \vec{n}|}{|\vec{M N}| . |\vec{n}|} = \frac{|- \sqrt{7} . \frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{7} . \frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Chọn B.

Câu 2

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng $(A B C D)$ là trung điểm H của AB. Cho $A B = 2 a; A D = 4 a$ ; $A A' = 8 a$ . Gọi E, N, M lần lượt là trung điểm của BC, DE, $A^{'} B$ . Gọi $α$ là góc giữa MN và AD'. Tính $\tan α$ .

A. $\tan α = 2$

\tan α = \sqrt{2}

\tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tan α = - 2

Lời giải

Media VietJack

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, chọn a là 1 đơn vị độ dài.

Có $A (- 1; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 4; 0), D (- 1; 4; 0), (0; 0; \sqrt{63}), (2; 0; \sqrt{63}), (1; 4; \sqrt{63}), (0; 4; \sqrt{63}) E (1; 2; 0), N (0; 3; 0), M (\frac{1}{2}; 0; \frac{\sqrt{63}}{2}) \vec{M N} (- \frac{1}{2}; 3; - \frac{\sqrt{63}}{2}), \vec{A D^{'}} (1; 4; \sqrt{63})$

Có $\cos \hat{(M N, A D^{'})} = |\cos (\vec{M N}, \vec{A D^{'}})| = \frac{|\vec{M N} . \vec{A D^{'}}|}{M N . A D} = \frac{|- \frac{1}{2} + 12 - \frac{63}{2}|}{5.4. \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Có $\tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} - 1 = 4; \tan α > 0 \Rightarrow \tan α = 2$ .

Chọn A.

Câu 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A M C)$ và $(S B C)$ bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{5}}{5}

\frac{2 \sqrt{5}}{5}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân, $A B = A C = a, = h (a, h > 0)$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.

A. $\frac{a h}{\sqrt{a^{2} + 5 h^{2}}}$

\frac{a h}{\sqrt{5 a^{2} + h^{2}}}

\frac{a h}{\sqrt{2 a^{2} + h^{2}}}

\frac{a h}{\sqrt{a^{2} + h^{2}}}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm O của cạnh AB. Góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ là $60 °$ . Gọi I là trung điểm cạnh B'C'. Khoảng cách từ I đến đường thẳng A'C bằng

\frac{a \sqrt{21}}{4}

\frac{a \sqrt{42}}{6}

\frac{a \sqrt{21}}{6}

\frac{a \sqrt{42}}{8}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm $A (1; 1; 1), B (2; 0; 2), C (- 1; - 1; 0), D (0; 3; 4)$ . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm $B^{'}, C', D'$ sao cho $\frac{A B}{A B^{'}} + \frac{A C}{A C^{'}} + \frac{A D}{A D^{'}} = 4$ và tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng $(B^{'} C^{'} D^{'})$ là

A. $16 x - 40 y - 44 z + 39 = 0$

16 x - 40 y - 44 z - 39 = 0

16 x + 40 y + 44 z - 39 = 0

16 x + 40 y - 44 z + 39 = 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A M C)$ và $(S B C)$ bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân, $A B = A C = a, = h (a, h > 0)$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.