Câu hỏi:

27/01/2023 959

Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=AB=3cm, BC=5cm và diện tích tam giác SAC bằng $6 c m^{2}$ . Một mặt phẳng $(α)$ thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS, AB, AC lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất $T_{m}$ của biểu thức $T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{A P^{2}}$ .

A. $T_{m} = \frac{8}{17}$

T_{m} = \frac{41}{144}

T_{m} = \frac{1}{10}

T_{m} = \frac{1}{34}

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Ứng dụng của hình học Oxyz có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gắn trục t $C (0; 4; 0), S (0; 0; 3)$ ọa độ Ox, Oy, Oz như hình vẽ.

Media VietJack

Vì tam giác SAC vuông tại A

$\Rightarrow A C = \frac{2 S_{Δ S A C}}{S A} = 4 c m$

Vì $A C^{2} + A B^{2} = B C^{2}$ nên tam giác ABC vuông tại A.

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ.

Ta có $A (0; 0; 0), B (3; 0; 0)$ ,

Vì G là trọng tâm của tứ diện S.ABC nên ta có:

$\{\begin{cases} x_{G} = \frac{x_{S} + x_{A} + x_{B} + x_{C}}{4} = \frac{3}{4} \\ y_{G} = \frac{y_{S} + y_{A} + y_{B} + y_{C}}{4} = 1 \\ z_{G} = \frac{z_{S} + z_{A} + z_{B} + z_{C}}{4} = \frac{3}{4} \end{cases} \Rightarrow G (\frac{3}{4}; 1; \frac{3}{4})$

Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng $(α)$ . Theo tính chất của tam diện vuông ta có: $T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{A P^{2}} = \frac{1}{A H^{2}}$ .

Mà $A H \leq A G \Rightarrow T = \frac{1}{A M^{2}} + \frac{1}{A N^{2}} + \frac{1}{A P^{2}} = \frac{1}{A H^{2}} \geq \frac{1}{A G^{2}} \Rightarrow T \geq \frac{8}{17}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $H \equiv G$ tức mặt phẳng $(α)$ đi qua điểm G và vuông góc với đường thẳng OG.

Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng $\frac{8}{17}$ .

Chọn A.

Hot: 1000+ Đề thi giữa kì 1 file word cấu trúc mới 2025 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết $M N = \frac{a \sqrt{6}}{2}$ . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $(S B D)$ bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{5}$

\frac{\sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{5}}{5}

\sqrt{3}

Lời giải

Media VietJack

Gọi I hình chiếu của M lên $(A B C D)$ , suy ra I là trung điểm của AO.

Khi đó $C I = \frac{3}{4} A C = \frac{3 a \sqrt{2}}{4}$ .

Xét $Δ C N I$ có $C N = \frac{a}{2}, \hat{N C I} = 45 °$ .

Áp dụng định lý cosin ta có:

$N I = \sqrt{C N^{2} + C I^{2} - 2 C N . C I . \cos 45 °} = \sqrt{\frac{a^{2}}{4} + \frac{9 a^{2}}{8} - 2. \frac{a}{2} . \frac{3 a \sqrt{2}}{4} . \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{a \sqrt{10}}{4}$

Xét $Δ M I N$ vuông tại I nên

$M I = \sqrt{M N^{2} - N I^{2}} = \sqrt{\frac{3 a^{2}}{2} - \frac{5 a^{2}}{8}} = \frac{a \sqrt{14}}{4}$

Mà $M I // SO, MI = \frac{1}{2} S O \Rightarrow S O = \frac{a \sqrt{14}}{2}$ .

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:

Ta có $O (0; 0; 0), B (0; \frac{\sqrt{2}}{2}; 0), D (0; - \frac{\sqrt{2}}{2}; 0), C (\frac{\sqrt{2}}{2}; 0; 0), N (\frac{\sqrt{2}}{4}; \frac{\sqrt{2}}{4}; 0)$ ,

$A (- \frac{\sqrt{2}}{2}; 0; 0), S (0; 0; \frac{\sqrt{14}}{2}), M (- \frac{\sqrt{2}}{4}; 0; \frac{\sqrt{14}}{4})$

Khi đó $\vec{M N} = (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{4}; - \frac{\sqrt{14}}{4}), \vec{S B} = (0; \frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{14}}{2}), \vec{S D} = (0; - \frac{\sqrt{2}}{2}; - \frac{\sqrt{14}}{2})$ .

Vecto pháp tuyến mặt phẳng $(S B D)$ : $\vec{n} = \frac{1}{2} [\vec{S B}; \vec{S D}] = (- \sqrt{7}; 0; 0)$ .

Suy ra $\sin (M N, (S B D)) = \frac{|\vec{M N} . \vec{n}|}{|\vec{M N}| . |\vec{n}|} = \frac{|- \sqrt{7} . \frac{\sqrt{2}}{2}|}{\sqrt{7} . \frac{\sqrt{6}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Chọn B.

Câu 2

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng $(A B C D)$ là trung điểm H của AB. Cho $A B = 2 a; A D = 4 a$ ; $A A' = 8 a$ . Gọi E, N, M lần lượt là trung điểm của BC, DE, $A^{'} B$ . Gọi $α$ là góc giữa MN và AD'. Tính $\tan α$ .

A. $\tan α = 2$

\tan α = \sqrt{2}

\tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}

\tan α = - 2

Lời giải

Media VietJack

Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, chọn a là 1 đơn vị độ dài.

Có $A (- 1; 0; 0), B (1; 0; 0), C (1; 4; 0), D (- 1; 4; 0), (0; 0; \sqrt{63}), (2; 0; \sqrt{63}), (1; 4; \sqrt{63}), (0; 4; \sqrt{63}) E (1; 2; 0), N (0; 3; 0), M (\frac{1}{2}; 0; \frac{\sqrt{63}}{2}) \vec{M N} (- \frac{1}{2}; 3; - \frac{\sqrt{63}}{2}), \vec{A D^{'}} (1; 4; \sqrt{63})$

Có $\cos \hat{(M N, A D^{'})} = |\cos (\vec{M N}, \vec{A D^{'}})| = \frac{|\vec{M N} . \vec{A D^{'}}|}{M N . A D} = \frac{|- \frac{1}{2} + 12 - \frac{63}{2}|}{5.4. \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$ .

Có $\tan^{2} α = \frac{1}{\cos^{2} α} - 1 = 4; \tan α > 0 \Rightarrow \tan α = 2$ .

Chọn A.

Câu 3

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(A M C)$ và $(S B C)$ bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

\frac{2 \sqrt{3}}{3}

\frac{\sqrt{5}}{5}

\frac{2 \sqrt{5}}{5}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng $(A B C)$ là trung điểm O của cạnh AB. Góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng $(A^{'} B^{'} C^{'})$ là $60 °$ . Gọi I là trung điểm cạnh B'C'. Khoảng cách từ I đến đường thẳng A'C bằng

\frac{a \sqrt{21}}{4}

\frac{a \sqrt{42}}{6}

\frac{a \sqrt{21}}{6}

\frac{a \sqrt{42}}{8}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân, $A B = A C = a, = h (a, h > 0)$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.

A. $\frac{a h}{\sqrt{a^{2} + 5 h^{2}}}$

\frac{a h}{\sqrt{5 a^{2} + h^{2}}}

\frac{a h}{\sqrt{2 a^{2} + h^{2}}}

\frac{a h}{\sqrt{a^{2} + h^{2}}}

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có tọa độ các điểm $A (1; 1; 1), B (2; 0; 2), C (- 1; - 1; 0), D (0; 3; 4)$ . Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm $B^{'}, C', D'$ sao cho $\frac{A B}{A B^{'}} + \frac{A C}{A C^{'}} + \frac{A D}{A D^{'}} = 4$ và tứ diện AB'C'D' có thể tích nhỏ nhất. Phương trình mặt phẳng $(B^{'} C^{'} D^{'})$ là

A. $16 x - 40 y - 44 z + 39 = 0$

16 x - 40 y - 44 z - 39 = 0

16 x + 40 y + 44 z - 39 = 0

16 x + 40 y - 44 z + 39 = 0

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử