Câu hỏi:

22/02/2023 216

Tìm m để phương trình \({\log _2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - m} \right) = x - m - \sqrt {{x^2} - 3x + 2} \) có nghiệm?

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Đáp án C

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp hàm số.

Cách giải:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 > 0\\x - m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\\x > m\end{array} \right.\)

\({\log _2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2} + {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {x - m} \right) = x - m - \sqrt {{x^2} - 3x + 2} \)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2} - {\log _2}\left( {x - m} \right) = x - m - \sqrt {{x^2} - 3x + 2} \)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {{x^2} - 3x + 2} + \sqrt {{x^2} - 3x + 2} = {\log _2}\left( {x - m} \right) + x - m\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0\,\,\forall t > 0 \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 3x + 2} = x - m\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = {x^2} - 2mx + {m^2}\)

\( \Leftrightarrow \left( {2m - 3} \right)x + 2 - {m^2} = 0\,\,\left( * \right)\)

TH1: \(2m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{2} \Rightarrow \) Phương trình \(\left( * \right) \Leftrightarrow 0.x - \frac{1}{4} = 0\) (vô nghiệm)

TH2: \(m \ne \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{{{m^2} - 2}}{{2m - 3}}\)

Để phương trình có nghiệm \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\\x > m\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\frac{{{m^2} - 2}}{{2m - 3}} < 1\\\frac{{{m^2} - 2}}{{2m - 3}} > 2\end{array} \right.\\\frac{{{m^2} - 2}}{{2m - 3}} > m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\frac{{{m^2} - 2}}{{2m - 3}} - 1 < 0\\\frac{{{m^2} - 2}}{{2m - 3}} - 2 > 0\end{array} \right.\\\frac{{{m^2} - 2}}{{2m - 3}} - m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\frac{{{m^2} - 2 - 2m + 3}}{{2m - 3}} < 0\\\frac{{{m^2} - 2 - 4m + 6}}{{2m - 3}} > 0\end{array} \right.\\\frac{{{m^2} - 2 - 2{m^2} + 3}}{{2m - 3}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}\frac{{{m^2} - 2m + 1}}{{2m - 3}} < 0\\\frac{{{m^2} - 4m + 4}}{{2m - 3}} > 0\end{array} \right.\\\frac{{ - {m^2} + 3m - 2}}{{2m - 3}} > 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \in \left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)\backslash \left\{ 1 \right\}\\m \in \left( {\frac{3}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\end{array} \right.\\m \in \left( { -
\infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {\frac{3}{2};2} \right)\)

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tính khoảng cách d ngắn nhất giữa hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\)

Lời giải

Đáp án D

Phương pháp:

+) Gọi hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số, lưu ý điều kiện nằm ở hai nhánh khác nhau.

+) Tính AB, sử dụng BĐT Cauchy để tìm GTNN của AB.

Cách giải:

TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

Ta có: \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2 - \frac{3}{{x + 1}}\)

Đồ thị hàm số có TCĐ \(x = - 1\), gồm hai nhánh nằm về hai phía đường thẳng \(x = - 1\).

Gọi A là điểm thuộc nhánh trái của đồ thị hàm số \( \Rightarrow {x_A} < - 1 \Rightarrow - 1 - {x_A} > 0\)

Đặt \(a = - 1 - {x_A} > 0 \Rightarrow {x_A} = - 1 - a \Rightarrow A\left( { - 1 - a;2 + \frac{3}{a}} \right)\)

Gọi B là điểm thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số \( \Rightarrow {x_B} > - 1 \Rightarrow {x_B} + 1 > 0\)

Đặt \(b = 1 + {x_B} > 0 \Rightarrow {x_B} = - 1 + b \Rightarrow B\left( { - 1 + b;2 - \frac{3}{b}} \right)\)

\( \Rightarrow A{B^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{b} + \frac{3}{a}} \right)^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + \frac{{9{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{{a^2}{b^2}}} = {\left( {a + b} \right)^2}\left( {1 + \frac{9}{{{a^2}{b^2}}}} \right) = \left( {{a^2} + {b^2} + 2ab} \right)\left( {1 + \frac{9}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\) Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(A{B^2} \ge \left( {2ab + 2ab} \right).2\sqrt {\frac{9}{{{a^2}{b^2}}}} = 4ab.2.\frac{3}{{ab}} = 24 \Rightarrow AB \ge 2\sqrt 6 \)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b > 0\\1 = \frac{3}{{ab}}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt 3 \)

Vậy \(A{B_{\min }} = 2\sqrt 6 \)

Câu 2

Phương trình \({\log _4}\left( {x + 2} \right) = {\log _2}x\) có bao nhiêu nghiệm?

Lời giải

Đáp án B

Phương pháp:

Đưa về cùng cơ số.

Cách giải:

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2 > 0\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 2\\x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 0\)

\({\log _4}\left( {x + 2} \right) = {\log _2}x \Leftrightarrow {\log _{{2^2}}}\left( {x + 2} \right) = {\log _2}x\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\sqrt {x + 2} = {\log _2}x \Leftrightarrow \sqrt {x + 2} = x\)

\( \Leftrightarrow x + 2 = {x^2} \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {tm} \right)\\x = - 1\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất \(x = 2\)

Câu 3

Tính khoảng cách d giữa 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x + 1}}{{x - 1}}\)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Tìm tất cả các giá trị m để hàm số \(y = mx + 2\sin x - 3\cos \,x\) nghịch biến trên R.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng \({60^0}\). Thể tích V của hình chóp S.ABCD.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
  • Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
  • Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
  • Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
  • Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
  • Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay