Tìm a để hai đường thẳng (d₁): y = (a – 1)x + 1 và (d₂): y = (3 – a)x + 2 cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành.

Lời giải

• Để (d₁): y = (a – 1)x + 1 và (d₂): y = (3 – a)x + 2 cắt nhau thì a – 1 ≠ 3 – a

Û 2a ≠ 4 Û a ≠ 2.

• Để (d₁) cắt trục hoành thì a – 1 ≠ 0 Û a ≠ 1.

Gọi A(x_A; 0) là giao điểm của (d₁) với trục hoành.

Khi đó 0 = (a – 1)x_A + 1

Þ \({x_A} = \frac{{ - 1}}{{a - 1}}\). Suy ra \(A\left( {\frac{{ - 1}}{{a - 1}};0} \right)\).

• Để (d₂) cắt trục hoành thì 3 – a ≠ 0 Û a ≠ 3.

Gọi B(x_B; 0) là giao điểm của (d₂) với trục hoành.

Khi đó 0 = (3 – a)x_B + 2

Þ \({x_B} = \frac{{ - 2}}{{3 - a}} = \frac{2}{{a - 3}}\). Suy ra \(B\left( {\frac{2}{{a - 3}};0} \right)\).

Để (d₁) và (d₂) cắt nhau tại 1 điểm trên trục hoành thì A trùng B.

\( \Leftrightarrow \frac{{ - 1}}{{a - 1}} = \frac{2}{{a - 3}}\)

Þ ‒1.(a – 3) = 2.(a – 1)

Û ‒a + 3 = 2a – 2

Û ‒3a = ‒5

Û \(a = \frac{5}{3}\) (thỏa mãn).

Vậy \(a = \frac{5}{3}\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.