Hai năm trước, tuổi mẹ hơn tổng số tuổi của hai con là 25 tuổi. Hỏi ba năm sau, tuổi mẹ hơn tổng số tuổi của hai con là bao nhiêu tuổi?

Đặt A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 98.99.

Suy ra 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 98.99.3.

= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ... + 98.99.(100 – 97).

= 1.2.3 + 2.3.4 – 1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 + ... + 98.99.100 – 97.98.99.

= 98.99.100

Suy ra A = 98.99.100 : 3 = 98.33.100 = 323 400.

Vậy A = 323 400.

Ta có D, E lần lượt là trung điểm của AC, AB.

Suy ra $BE=\frac{AB}{2}=3\left(cm\right);CD=\frac{AC}{2}=4\left(cm\right)$ .

Gọi G là giao điểm của CE và BD.

Suy ra G là trọng tâm của tam giác ABC.

Đặt GD = x, GE = y.

Áp dụng tính chất trọng tâm cho tam giác ABC, ta được:

⦁ $GD=\frac{1}{2}BG$ . Suy ra BG = 2GD = 2x.

⦁ $GE=\frac{1}{2}CG$ . Suy ra CG = 2GE = 2y.

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác BGE vuông tại G: BG² + GE² = BE².

⇔ 4x² + y² = 9 (1)

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác CGD vuông tại G: CG² + GD² = CD².

⇔ 4y² + x² = 16 (2)

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được 5(x² + y²) = 25.

⇔ x² + y² = 5.

Áp dụng định lí Pitago cho tam giác BGC vuông tại G: BG² + CG² = BC².

⇔ 4x² + 4y² = BC².

⇔ 4(x² + y²) = BC².

⇔ BC² = 4.5 = 20.

Vậy $BC=2\sqrt{5}\left(cm\right)$ .