Cho x2 + y2 + xy = 1. Tìm GTNN, GTLN của: A = x2 − xy + 2y2

Vì x2 + y2 + xy = 1 nên (A = frac{{{x^2} - xy + 2{y^2}}}{{{x^2} + {y^2} + xy}} ) • Với y = 0 Þ A = 1 • Với y ≠ 0 ta chia cả tử và mẫu của vế phải cho y2 Suy ra [A = frac{{{{ left( { frac{x}{y}} right)}^2} - frac{x}{y} + 2}}{{{{ left( { frac{x}{y}} right)}^2} + frac{x}{y} + 1}} ] Đặt ( frac{x}{y} = a Rightarrow A = frac{{{a^2} - a + 2}}{{{a^2} + a + 1}} ) Û A.a2 + A.a + A = a2 − a + 2 Û (A − 1).a2 + (A + 1).a + A − 2 = 0 Ta có: ∆ = (A + 1)2− 4(A − 1)(A − 2) ≥0 Û −3A2 + 14A − 7 ≥ 0 ( Rightarrow frac{{7 - 2 sqrt 7 }}{3} le A le frac{{7 + 2 sqrt 7 }}{3} ) Vậy ( left { begin{array}{l}{A_{ max }} = frac{{7 + 2 sqrt 7 }}{3} {A_{ min }} = frac{{7 - 2 sqrt 7 }}{3} end{array} right. ).

Câu hỏi:

03/07/2023 1,345

Cho x² + y² + xy = 1. Tìm GTNN, GTLN của: A = x² − xy + 2y²

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vì x² + y² + xy = 1 nên \(A = \frac{{{x^2} - xy + 2{y^2}}}{{{x^2} + {y^2} + xy}}\)

• Với y = 0 Þ A = 1

• Với y ≠ 0 ta chia cả tử và mẫu của vế phải cho y²

Suy ra \[A = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - \frac{x}{y} + 2}}{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} + \frac{x}{y} + 1}}\]

Đặt \(\frac{x}{y} = a \Rightarrow A = \frac{{{a^2} - a + 2}}{{{a^2} + a + 1}}\)

Û A.a² + A.a + A = a² − a + 2

Û (A − 1).a² + (A + 1).a + A − 2 = 0

Ta có: ∆ = (A + 1)²− 4(A − 1)(A − 2) ≥0

Û −3A² + 14A − 7 ≥ 0

\( \Rightarrow \frac{{7 - 2\sqrt 7 }}{3} \le A \le \frac{{7 + 2\sqrt 7 }}{3}\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}{A_{\max }} = \frac{{7 + 2\sqrt 7 }}{3}\\{A_{\min }} = \frac{{7 - 2\sqrt 7 }}{3}\end{array} \right.\).

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1,2,3.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi số tự nhiên có 5 chữ số \(\overline {abcde} \;\left( {a \ne b \ne c \ne d \ne e;\;a \ne 0} \right)\)

+) Trường hợp với a là số bất kì kể cả 0

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 5 vị trí và sắp xếp có \(A_5^3\) (cách)

Xếp 2 số trong 7 số còn lại vào 2 vị trí còn lại và sắp xếp có \(A_7^2\) (cách)

Suy ra có \(A_5^3\,.\,A_7^2\) số

+) Trường hợp a = 0

Chọn a có 1 cách

Xếp 3 số 1, 2, 3 vào 3 trong 4 vị trí và sắp xếp có \(A_4^3\) (cách)

Xếp 1 số còn lại trong 6 số vào 1 vị trí còn lại có \(C_6^1\) (cách)

Suy ra có \(A_4^3\,.\,C_7^1\) (cách)

Vậy có: \(A_5^3\,.\,A_7^2 - A_4^3\,.\,C_7^1 = 2376\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 2

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(−4; 1), B(2; 4), C(2; −2).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm của tam giác ABD.

c) Tìm tọa độ điểm E sao cho tứ giác ABCE là hình bình hành.

Xem đáp án

Lời giải

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ G(x_G; y_G).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 4 + 2 + 2}}{3} = 0\\{y_G} = \frac{{1 + 4 - 2}}{3} = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là G(0; 1).

b) Gỉả sử điểm D có tọa độ là D(x_D; y_D)

Vì C là trọng tâm của tam giác ABD nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 4 + 2 + {x_D}}}{3} = 2\\\frac{{1 + 4 + {y_D}}}{3} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 + 2 + {x_D} = 6\\1 + 4 + {y_D} = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = - 11\end{array} \right.\)

Vậy điểm D có tọa độ là D(8; −11).

c) Gỉả sử điểm D có tọa độ là E(x_E; y_E).

Để tứ giác ABCE là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EC} \)

\[ \Leftrightarrow \left( {2 + 4;\;4 - 1} \right) = \left( {2 - {x_E};\; - 2 - {y_E}} \right)\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - {x_E} = 6\\ - 2 - {y_E} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = - 4\\{y_E} = - 5\end{array} \right.\)

Vậy điểm E có tọa độ là E(−4; −5).

Câu 3