Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A và tam giác MNP cân tại đỉnh M. Biết rằng \(\widehat {ABC} = \widehat {MNP}\) và BC = 2NP. Chứng minh rằng ∆ABC ᔕ ∆MNP và tìm tỉ số đồng dạng.

Lời giải

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, AC.

Khi đó, EF là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra EF song song với BC.

Do đó, ∆AEF ᔕ ∆ABC.

Lại có: \(\frac{{AB}}{{AE}} = 2\) nên ∆ABC ᔕ ∆AEF với tỉ số đồng dạng bằng 2 (1).

Vì EF song song với BC nên: \(\widehat {ABC} = \widehat {AEF},\widehat {ACB} = \widehat {AFB}\) (hai góc đồng vị).

Mà tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\).

Do đó, \(\widehat {ABC} = \widehat {AEF} = \widehat {ACB} = \widehat {AFE}\).

Tam giác MNP cân tại M nên \(\widehat {MNP} = \widehat {NPM}\).

Lại có: \(\widehat {ABC} = \widehat {MNP}\) (giả thiết).

Do đó, \(\widehat {AFE} = \widehat {AEF} = \widehat {MNP} = \widehat {NPM}\).

Ta có EF = \(\frac{1}{2}BC\) (do EF là đường trung bình của tam giác ABC) và

\(NP = \frac{1}{2}BC\) (do BC = 2NP). Do đó, EF = NP.

Tam giác AEF và tam giác MNP có:

\(\widehat {AFE} = \widehat {AEF} = \widehat {MNP} = \widehat {NPM}\) (chứng minh trên)

EF = NP (chứng minh trên)

Do đó, tam giác AEF và tam giác MNP bằng nhau (g.c.g).

Suy ra ∆AEF ᔕ ∆MNP với tỉ số đồng dạng bằng 1 (2).

Từ (1) và (2) ta có: ∆ABC ᔕ ∆MNP với tỉ số đồng dạng bằng 2.