Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.
a) Biết AB = 3 cm, AC = 4 cm, hãy tính độ dài các đoạn thẳng AH, BH, CH.
b) Gọi M, N lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng ∆HMN ᔕ ∆ABC.
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.
a) Biết AB = 3 cm, AC = 4 cm, hãy tính độ dài các đoạn thẳng AH, BH, CH.
b) Gọi M, N lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng ∆HMN ᔕ ∆ABC.
Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 8 KNTT Ôn tập chương IX có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 nên BC = 5 cm.
Tam giác ABC vuông tại A và tam giác HAC vuông tại H có:
\(\widehat C\) chung
Do đó, ∆ABC ᔕ ∆HAC (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{BC}}{{AC}}\) nên \(CH = \frac{{C{A^2}}}{{CB}} = \frac{{{4^2}}}{5} = \frac{{16}}{5}\) (cm).
Do đó, BH = BC – CH = 5 – \(\frac{{16}}{5}\) = \(\frac{9}{5}\) (cm).
Vì ∆ABC ᔕ ∆HAC (cmt) nên \(\frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AC}}\)
Do đó, \[AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{3 \cdot 4}}{5} = \frac{{12}}{5}\] (cm).
b)
Vì HM vuông góc AB, suy ra \(\widehat {HMA} = 90^\circ \).
HN vuông góc với AC, suy ra \(\widehat {HNA} = 90^\circ \).
Tứ giác ANHM có: \(\widehat {HMA} = \widehat {NAM} = \widehat {HNA} = 90^\circ \) nên tứ giác ANHM là hình chữ nhật.
Do đó, \(\widehat {NHM} = 90^\circ \).
Gọi D là giao điểm của hai đường chéo trong hình chữ nhật NHMA nên DH = DM. Do đó, tam giác DHM cân tại D.
Suy ra: \(\widehat {DHM} = \widehat {DMH}\)
Lại có: \(\widehat {DHM} = \widehat B\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat {MHB}} \right)\) nên \(\widehat {DMH} = \widehat B\).
Xét tam giác HMN vuông tại H và tam giác ABC vuông tại A có:
\(\widehat {NMH} = \widehat B\) (do \(\widehat {DMH} = \widehat B\))
Do đó, ∆HMN ᔕ ∆ABC (góc nhọn).
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
a)
Tam giác FBD và tam giác CED cùng vuông tại D có:
\(\widehat F = \widehat C\,\,\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat B} \right)\).
Do đó, ∆BDF ᔕ ∆EDC (góc nhọn).
b)
Tam giác ABC vuông tại A và tam giác DEC vuông tại D có:
\(\widehat C\) chung
Do đó, ∆ABC ᔕ ∆DEC (góc nhọn). Suy ra \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DC}}\).
Vì AD là phân giác của góc BAC trong tam giác ABC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Suy ra \(\frac{{AC}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BD}}\).
Do đó \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{BD}}\). Suy ra BD = DE.
Lời giải
Lời giải
Tam giác ABC vuông tại A và tam giác HAC vuông tại H có: \(\widehat {ACB}\) chung.
Do đó, ∆ABC ᔕ ∆HAC (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{BC}}{{CA}} = \frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{2BN}}{{2AM}} = \frac{{BN}}{{AM}}\) (do M, N lần lượt là trung điểm của AH, AB).
Hay \(\frac{{AC}}{{CB}} = \frac{{AM}}{{BN}}\).
Xét tam giác CAM và tam giác CNB có:
\(\widehat {CAM} = \widehat {CBN}\,\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat {BAH}} \right)\)
\(\frac{{AC}}{{CB}} = \frac{{AM}}{{BN}}\) (cmt)
Do đó, ∆CAM ᔕ ∆CBN (c.g.c).
Vì ∆ABC ᔕ ∆HAC nên ta có: \(\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{AB}}{{AH}} = \frac{{2AN}}{{2HM}} = \frac{{AN}}{{HM}}\) hay \(\frac{{HC}}{{AC}} = \frac{{HM}}{{AN}}\).
Xét tam giác CHM vuông tại H và tam giác CAN vuông tại A có:
\(\frac{{HC}}{{AC}} = \frac{{HM}}{{AN}}\) (cmt)
Do đó, ∆CHM ᔕ ∆CAN (hai cạnh góc vuông).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo