Câu hỏi:
11/07/2024 2,211
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng:
a) ∆MNP ᔕ ∆ABC và tìm tỉ số đồng dạng.
b) ∆ABN ᔕ ∆CAM và ∆ACP ᔕ ∆BAM.
c) AN ⊥ CM và AP ⊥ BM.
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng:
a) ∆MNP ᔕ ∆ABC và tìm tỉ số đồng dạng.
b) ∆ABN ᔕ ∆CAM và ∆ACP ᔕ ∆BAM.
c) AN ⊥ CM và AP ⊥ BM.
Câu hỏi trong đề:
Giải SBT Toán 8 KNTT Ôn tập chương IX có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Tam giác CAH có P, M lần lượt là trung điểm của CH, AH nên MP là đường trung bình của tam giác ACH, suy ra \(\frac{{MP}}{{AC}} = \frac{1}{2}\).
Tam giác BAH có N, M lần lượt là trung điểm của BH, AH nên MN là đường trung bình của tam giác ABH, suy ra \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{2}\).
Ta có \(\frac{{PN}}{{CB}} = \frac{{PH + HN}}{{CH + HB}} = \frac{{PH + HN}}{{2\left( {PH + HN} \right)}} = \frac{1}{2}\) (do N, P lần lượt là trung điểm của HB, HC).
Tam giác MNP và tam giác ABC có:
\(\frac{{MP}}{{AC}} = \frac{{PN}}{{CB}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{2}\).
Nên ∆MNP ᔕ ∆ABC (c.c.c) với tỉ số đồng dạng bằng \(\frac{1}{2}\).
b)
Tam giác ABH vuông tại H và tam giác HAC vuông tại H có:
\(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\,\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat {ACH}} \right)\)
Do đó, ∆HBA ᔕ ∆HAC (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{2BN}}{{2MA}} = \frac{{BN}}{{MA}}\).
Tam giác ABN và tam giác CAM có:
\(\widehat {ABN} = \widehat {CAM}\) (cmt)
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{MA}}\) (cmt)
Do đó, ∆ABN ᔕ ∆CAM (c.g.c).
Vì ∆HBA ᔕ ∆HAC (cmt). Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{2AM}}{{2CP}} = \frac{{AM}}{{CP}}\).
Xét tam giác ACP và tam giác BAM có:
\(\widehat {ACP} = \widehat {MAB}\,\,\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat {CAH}} \right)\)
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{CP}}\) (cmt)
Do đó, ∆ACP ᔕ ∆BAM (c.g.c).
c)
+ Vì MN là đường trung bình trong tam giác AHB nên MN song song với AB.
Mà AB vuông góc với AC nên MN vuông góc với AC.
Trong tam giác CAN có MN vuông góc với AC nên MN là đường cao trong tam giác CAN, mà AH là đường cao trong tam giác CAN và M là giao điểm của MN và AH nên M là trực tâm của tam giác CAN. Vậy CM vuông góc với AN.
+ Vì MP là đường trung bình trong tam giác CAH nên MP song song với AC.
Mà AB vuông góc với AC nên MP vuông góc với AB.
Trong tam giác PAB có MP vuông góc với AB nên MP là đường cao trong tam giác PAB, mà AH là đường cao trong tam giác PAB và M là giao điểm của MP và AH nên M là trực tâm của tam giác PAB. Vậy AP vuông góc với BM.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.
a) Biết AB = 3 cm, AC = 4 cm, hãy tính độ dài các đoạn thẳng AH, BH, CH.
b) Gọi M, N lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng ∆HMN ᔕ ∆ABC.
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH.
a) Biết AB = 3 cm, AC = 4 cm, hãy tính độ dài các đoạn thẳng AH, BH, CH.
b) Gọi M, N lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Chứng minh rằng ∆HMN ᔕ ∆ABC.
Xem đáp án »
11/07/2024
4,352
Câu 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), có AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC). Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt cạnh AC tại E và cắt tia BA tại F. Chứng minh rằng:
a) ∆BDF ᔕ ∆EDC;
b) BD = DE.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), có AD là đường phân giác của góc A (D thuộc BC). Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt cạnh AC tại E và cắt tia BA tại F. Chứng minh rằng:
a) ∆BDF ᔕ ∆EDC;
b) BD = DE.
Xem đáp án »
11/07/2024
4,244
Câu 3:
Câu nào sau đây là sai ?
A. Hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ thì có các cặp góc tương ứng bằng nhau.
B. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì có cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
C. Hai tam giác có một cặp góc tương ứng bằng nhau và hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ thì đồng dạng với nhau.
D. Hai tam giác cùng đồng dạng với một tam giác theo cùng một tỉ số đồng dạng thì bằng nhau.
Câu nào sau đây là sai ?
A. Hai tam giác có các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ thì có các cặp góc tương ứng bằng nhau.
B. Hai tam giác có hai cặp góc tương ứng bằng nhau thì có cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.
C. Hai tam giác có một cặp góc tương ứng bằng nhau và hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ thì đồng dạng với nhau.
D. Hai tam giác cùng đồng dạng với một tam giác theo cùng một tỉ số đồng dạng thì bằng nhau.
Xem đáp án »
11/07/2024
3,879
Câu 4:
Cho tam giác ABC với AB > AC. Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho AC = AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD và cắt AB tại F. Chứng minh rằng:
a) AD2 = AF . AB.
b) ∆ACF ᔕ ∆ABC.
Chú ý: Đề trong sách cho D thuộc cạnh BC là sai, cần sửa như trên.
Cho tam giác ABC với AB > AC. Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho AC = AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với BC và cắt AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với CD và cắt AB tại F. Chứng minh rằng:
a) AD2 = AF . AB.
b) ∆ACF ᔕ ∆ABC.
Chú ý: Đề trong sách cho D thuộc cạnh BC là sai, cần sửa như trên.
Xem đáp án »
11/07/2024
2,480
Câu 5:
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AH, AB. Chứng minh rằng ∆CAM ᔕ ∆CBN và ∆CHM ᔕ ∆CAN.
Xem đáp án »
11/07/2024
2,130
Câu 6:
Bộ ba số đo nào dưới đây không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông ?
A. \(\sqrt 2 \)cm, \(\sqrt 2 \)cm, 2 cm.
B. 1 cm, 1 cm, \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\) cm.
C. 2 cm, 4 cm, \(\sqrt {20} \) cm.
D. 3 cm, 4 cm, 5 cm.
Bộ ba số đo nào dưới đây không là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông ?
A. \(\sqrt 2 \)cm, \(\sqrt 2 \)cm, 2 cm.
B. 1 cm, 1 cm, \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\) cm.
C. 2 cm, 4 cm, \(\sqrt {20} \) cm.
D. 3 cm, 4 cm, 5 cm.
Xem đáp án »
11/07/2024
1,309
về câu hỏi!