Câu hỏi:
11/07/2024 3,422
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng:
a) ∆MNP ᔕ ∆ABC và tìm tỉ số đồng dạng.
b) ∆ABN ᔕ ∆CAM và ∆ACP ᔕ ∆BAM.
c) AN ⊥ CM và AP ⊥ BM.
Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng:
a) ∆MNP ᔕ ∆ABC và tìm tỉ số đồng dạng.
b) ∆ABN ᔕ ∆CAM và ∆ACP ᔕ ∆BAM.
c) AN ⊥ CM và AP ⊥ BM.
Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 8 KNTT Ôn tập chương IX có đáp án !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Lời giải
a) Tam giác CAH có P, M lần lượt là trung điểm của CH, AH nên MP là đường trung bình của tam giác ACH, suy ra \(\frac{{MP}}{{AC}} = \frac{1}{2}\).
Tam giác BAH có N, M lần lượt là trung điểm của BH, AH nên MN là đường trung bình của tam giác ABH, suy ra \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{2}\).
Ta có \(\frac{{PN}}{{CB}} = \frac{{PH + HN}}{{CH + HB}} = \frac{{PH + HN}}{{2\left( {PH + HN} \right)}} = \frac{1}{2}\) (do N, P lần lượt là trung điểm của HB, HC).
Tam giác MNP và tam giác ABC có:
\(\frac{{MP}}{{AC}} = \frac{{PN}}{{CB}} = \frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{2}\).
Nên ∆MNP ᔕ ∆ABC (c.c.c) với tỉ số đồng dạng bằng \(\frac{1}{2}\).
b)
Tam giác ABH vuông tại H và tam giác HAC vuông tại H có:
\(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\,\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat {ACH}} \right)\)
Do đó, ∆HBA ᔕ ∆HAC (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{2BN}}{{2MA}} = \frac{{BN}}{{MA}}\).
Tam giác ABN và tam giác CAM có:
\(\widehat {ABN} = \widehat {CAM}\) (cmt)
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BN}}{{MA}}\) (cmt)
Do đó, ∆ABN ᔕ ∆CAM (c.g.c).
Vì ∆HBA ᔕ ∆HAC (cmt). Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{2AM}}{{2CP}} = \frac{{AM}}{{CP}}\).
Xét tam giác ACP và tam giác BAM có:
\(\widehat {ACP} = \widehat {MAB}\,\,\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat {CAH}} \right)\)
\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{CP}}\) (cmt)
Do đó, ∆ACP ᔕ ∆BAM (c.g.c).
c)
+ Vì MN là đường trung bình trong tam giác AHB nên MN song song với AB.
Mà AB vuông góc với AC nên MN vuông góc với AC.
Trong tam giác CAN có MN vuông góc với AC nên MN là đường cao trong tam giác CAN, mà AH là đường cao trong tam giác CAN và M là giao điểm của MN và AH nên M là trực tâm của tam giác CAN. Vậy CM vuông góc với AN.
+ Vì MP là đường trung bình trong tam giác CAH nên MP song song với AC.
Mà AB vuông góc với AC nên MP vuông góc với AB.
Trong tam giác PAB có MP vuông góc với AB nên MP là đường cao trong tam giác PAB, mà AH là đường cao trong tam giác PAB và M là giao điểm của MP và AH nên M là trực tâm của tam giác PAB. Vậy AP vuông góc với BM.
Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Lời giải
a)
Tam giác FBD và tam giác CED cùng vuông tại D có:
\(\widehat F = \widehat C\,\,\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat B} \right)\).
Do đó, ∆BDF ᔕ ∆EDC (góc nhọn).
b)
Tam giác ABC vuông tại A và tam giác DEC vuông tại D có:
\(\widehat C\) chung
Do đó, ∆ABC ᔕ ∆DEC (góc nhọn). Suy ra \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AC}}{{DC}}\).
Vì AD là phân giác của góc BAC trong tam giác ABC nên \(\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\).
Suy ra \(\frac{{AC}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{BD}}\).
Do đó \(\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{AB}}{{BD}}\). Suy ra BD = DE.
Lời giải
Lời giải
a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 32 + 42 = 25 nên BC = 5 cm.
Tam giác ABC vuông tại A và tam giác HAC vuông tại H có:
\(\widehat C\) chung
Do đó, ∆ABC ᔕ ∆HAC (góc nhọn).
Suy ra \(\frac{{AC}}{{HC}} = \frac{{BC}}{{AC}}\) nên \(CH = \frac{{C{A^2}}}{{CB}} = \frac{{{4^2}}}{5} = \frac{{16}}{5}\) (cm).
Do đó, BH = BC – CH = 5 – \(\frac{{16}}{5}\) = \(\frac{9}{5}\) (cm).
Vì ∆ABC ᔕ ∆HAC (cmt) nên \(\frac{{AB}}{{HA}} = \frac{{BC}}{{AC}}\)
Do đó, \[AH = \frac{{AB \cdot AC}}{{BC}} = \frac{{3 \cdot 4}}{5} = \frac{{12}}{5}\] (cm).
b)
Vì HM vuông góc AB, suy ra \(\widehat {HMA} = 90^\circ \).
HN vuông góc với AC, suy ra \(\widehat {HNA} = 90^\circ \).
Tứ giác ANHM có: \(\widehat {HMA} = \widehat {NAM} = \widehat {HNA} = 90^\circ \) nên tứ giác ANHM là hình chữ nhật.
Do đó, \(\widehat {NHM} = 90^\circ \).
Gọi D là giao điểm của hai đường chéo trong hình chữ nhật NHMA nên DH = DM. Do đó, tam giác DHM cân tại D.
Suy ra: \(\widehat {DHM} = \widehat {DMH}\)
Lại có: \(\widehat {DHM} = \widehat B\,\,\,\left( { = 90^\circ - \widehat {MHB}} \right)\) nên \(\widehat {DMH} = \widehat B\).
Xét tam giác HMN vuông tại H và tam giác ABC vuông tại A có:
\(\widehat {NMH} = \widehat B\) (do \(\widehat {DMH} = \widehat B\))
Do đó, ∆HMN ᔕ ∆ABC (góc nhọn).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Kết nối tri thức Bài 1: Đơn thức có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Chân trời sáng tạo Bài 1: Đơn thức và đa thức nhiều biến có đáp án
-
Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án (Đề 1)
-
15 câu Trắc nghiệm Toán 8 Cánh diều Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến có đáp án
-
10 Bài tập Nhận biết đơn thức, đơn thức thu gọn, hệ số, phần biến và bậc của đơn thức (có lời giải)
-
Bộ 10 đề thi giữa kì 2 Toán 8 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án (Đề 5)
-
Dạng 8: Bài luyện tập 3 dạng 4. Tổng hợp có đáp án
-
Dạng 2: Bài luyện tập 1 Dạng 2: Rút gọn phân thức có đáp án
Nhắn tin Zalo