Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa AB và DM. 

a) Ta có: $\left\{\begin{array}{c}SA\perp AC\\ SA\perp BC\end{array}\right.$

Þ SA ^ (ABCD) Û SA ^ AD.

Do BC // AD nên (BC, SD) = (AD, SD).

$\tan \widehat{ADS}=\frac{SA}{AD}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$

Do đó $\left(BC,SD\right)=\widehat{ADS}$  = 60°.

b) Do MN // CD nên (SD, MN) = (SD, CD) = $\widehat{SCD}$ .

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

$\left\{\begin{array}{c}SD=\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+a^2}=2a\\ SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+a^2}=2a\end{array}\right.$

Áp dụng định lí hàm cos trong ∆SCD, ta có:

$\cos \widehat{SCD}=\frac{S{C}^2+C{D}^2-S{D}^2}{2.SC.CD}=\frac{{\left(2a\right)}^2+a^2-{\left(2a\right)}^2}{2.2.a.a}=\frac{1}{4}$

Do đó (SD, MN) = $\widehat{SCD}$   ≈ 75,52°.

a) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AD, BC.

Xét ∆BAD và ∆CDA, ta có:

$\left\{\begin{array}{c}BA=CD\\ BD=CA\\ ADchung\end{array}\right.$

Do đó ∆BAD = ∆CDA (c.c.c)

Ta có BE = CE (2 đường trung tuyến ứng với cạnh AD).

Suy ra ∆BEC cân tại E nên EF ⊥ BC.

Chứng minh tương tự, ta có: EF ⊥ AD.

Vậy đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.

b) Gọi G, H lần lượt là các trung điểm của 2 cạnh AB và CD.

Theo tính chất đường trung bình, ta có:

 $\left\{\begin{array}{c}EH=GF=\frac{1}{2}AC\\ EG=HF=\frac{1}{2}BD\\ AC=BD\left(gt\right)\end{array}\right.$Þ EH = GF = EG = HF

Khi đó, EHFG là hình thoi, suy ra EF ^ GH.

Vậy hai đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với nhau.