Câu hỏi:

13/07/2024 1,760

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh hai đường thẳng OA và CD vuông góc với nhau.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán học 11 CTST Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Giả sử điểm H là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh A xuống mặt phẳng đáy.

Xét ∆AHB, ∆AHC và ∆AHD:

$\{\begin{matrix} A B = A C = A D = a \\ C a n h A H c h u n g \\ \hat{A H B } = \hat{A H C} = \hat{A H D} = 90 ° \end{matrix}$

Þ ∆AHB, ∆AHC và ∆AHD là các tam giác bằng nhau (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Þ BH = CH = DH Þ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Þ H º O Û AO là đường cao của tứ diện ABCD.

Þ OA ^ CD.

Vậy hai đường thẳng OA và CD vuông góc với nhau.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp S.ABCD. có đáy là hình thoi cạnh a, SA = $a \sqrt{3}$ , SA ^ AC, SA ^ BC, $\hat{B A D}$ = 120°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) SD và BC.

b) MN và SC.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Ta có: $\{\begin{matrix} S A ⊥ A C \\ S A ⊥ B C \end{matrix}$

Þ SA ^ (ABCD) Û SA ^ AD.

Do BC // AD nên (BC, SD) = (AD, SD).

$\tan \hat{A D S} = \frac{S A}{A D} = \frac{a \sqrt{3}}{a} = \sqrt{3}$

Do đó $(B C, S D) = \hat{A D S}$ = 60°.

b) Do MN // CD nên (SD, MN) = (SD, CD) = $\hat{S C D}$ .

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

$\{\begin{matrix} S D = \sqrt{S A^{2} + A D^{2}} = \sqrt{{(a \sqrt{3})}^{2} + a^{2}} = 2 a \\ S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{{(a \sqrt{3})}^{2} + a^{2}} = 2 a \end{matrix}$

Áp dụng định lí hàm cos trong ∆SCD, ta có:

$\cos \hat{S C D} = \frac{S C^{2} + C D^{2} - S D^{2}}{2 . S C . C D} = \frac{{(2 a)}^{2} + a^{2} - {(2 a)}^{2}}{2 . 2 . a . a} = \frac{1}{4}$

Do đó (SD, MN) = $\hat{S C D}$ ≈ 75,52°.

Câu 2

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa AB và DM.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

Cho N là trung điểm của cạnh AC.

Þ MN là đường trung trực của ∆ABC.

Þ MN // AB Û (AB, DM) = (MN, DM) = $\hat{D M N}$

Lại có: ∆BCD và ∆ACD là các tam giác đều (theo giả thiết).

Giả sử ABCD là tứ diện đều cạnh a.

Þ DM = DN = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ ; MN = $\frac{A B}{2}$ = $\frac{a}{2}$ .

Áp dụng định lý hàm cos trong ∆DMN, ta có:

$\cos \hat{D M N} = \frac{D M^{2} + M N^{2} - D N^{2}}{2. D M . M N} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

Do đó (AB, DM) = $\hat{D M N}$ ≈ 73,22°.

Câu 3

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm của SA, SD, SC và BC. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) IJ và DC;

b) MN và IJ.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC.

a) Chứng minh đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.

b) Chứng minh hai đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với nhau.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh hai đường thẳng OA và CD vuông góc với nhau.

Cho hình chóp S.ABCD. có đáy là hình thoi cạnh a, SA = a3, SA ^ AC, SA ^ BC, BAD^ = 120°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính góc giữa các cặp đường thẳng: a) SD và BC. b) MN và SC.

Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Tính góc giữa AB và DM.

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm của SA, SD, SC và BC. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: a) IJ và DC; b) MN và IJ.

Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC. a) Chứng minh đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó. b) Chứng minh hai đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với nhau.

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABCD. có đáy là hình thoi cạnh a, SA = $a \sqrt{3}$ , SA ^ AC, SA ^ BC, $\hat{B A D}$ = 120°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) SD và BC.

b) MN và SC.

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N, I, J lần lượt là trung điểm của SA, SD, SC và BC. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) IJ và DC;

b) MN và IJ.

Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC.

a) Chứng minh đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với hai cạnh đó.

b) Chứng minh hai đoạn nối các trung điểm của các cặp cạnh đối thì vuông góc với nhau.