Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}3x-y=1\\ -15x+my=-7\end{array}\right..$

Chứng tỏ rằng hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi m = 5.

• Gọi x và y (tấn/ha) lần lượt là năng suất của hai giống lúa mới và cũ. Điều kiện: x > 0, y > 0.

Vì 7 ha giống lúa mới cho thu hoạch nhiều hơn 8 ha giống lúa cũ là 2 tấn thóc nên ta có phương trình 7x – 8y = 2. (1)

Do 60 ha dùng để cấy giống lúa mới nên diện tích đất cấy giống lúa cũ là 160 – 60 = 100 (ha).

Tổng số thóc (cả hai giống) thu hoạch được trên 160 ha là 860 tấn, ta có phương trình 60x + 100y = 860 hay 3x + 5y = 43. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}7x-8y=2\\ 3x+5y=43\end{array}\right..$

• Giải hệ phương trình:

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình thứ hai với 7, ta được hệ mới $\left\{\begin{array}{c}21x-24y=6\\ 21x+35y=301\end{array}\right..$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được −59y = −295 hay y = 5.

Thay y = 5 vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình đã cho ta được 7x – 8.5 = 2 hay 7x = 42, suy ra x = 6.

• Các giá trị x = 6 và y = 5 thỏa mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy năng suất của hai giống lúa mới và cũ lần lượt là 6 tấn/ha và 8 tấn/ha.

• Gọi chữ số hàng chục của số n là x (x ∈ ℕ, 0 < x ≤ 9), chữ số hàng đơn vị của số n là y (y ∈ ℕ, 0 < x ≤ 9), nghĩa là $n=\overline{xy}.$

Khi viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của số n, ta được số $\overline{x3y}.$

Số này lớn hơn 2n là 585 đơn vị nên ta có phương trình

(100x + 30 + y) – 2(10x + y) = 585 hay 80x – y = 555. (1)

Khi viết hai chữ số của n theo thứ tự ngược lại ta được số $\overline{\text{yx}}.$ Số này nhỏ hơn số n là 18 đơn vị nên ta có phương trình

(10x + y) – (10y + x) = 18 hay 9x – 9y = 18, suy ra x – y = 2. (2)

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{c}80x-y=555\\ x-y=2\end{array}\right..$

• Giải hệ phương trình:

Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được 79x = 553 hay x = 7.

Thế vào phương trình thứ hai, ta được 7 – y = 2 hay y = 5.

• Các giá trị x = 7 và y = 5 thỏa mãn các điều kiện của ẩn.

Vậy số tự nhiên n cần tìm là 75.