Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{3x + 5}}{{x + 2}}\);

b) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}.\)

a) \(y = \frac{{3x + 5}}{{x + 2}}\)

1. Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 3;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 3\)

Do đó, đường thẳng y = 3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3x + 5}}{{x + 2}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3x + 5}}{{x + 2}} = + \infty \).

Do đó, đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = \(\frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) > 0, với mọi x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞).

2. Đồ thị hàm số

Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\).

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - \frac{5}{3};0} \right)\).

Đồ thị có tâm đối xứng là điểm (−2; 3).

Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số như sau:

b) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\)

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2\)

Do đó, đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = - \infty \).

Do đó, đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = \(\frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) > 0, với mọi x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 1).

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (1; 2).

Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.