Câu hỏi:
22/08/2024 264Cho hàm số \(y = \frac{{m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x - 1}}{{x + 2}}\) với m là tham số.
a) Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m > 0.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho với m = 1.
c) Giả sử ∆ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (H) tại điểm M ∈ (H) bất kì. Chứng minh rằng nếu ∆ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (H) tại A và B thì M luôn là trung điểm của đoạn AB.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 160k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Tập xác định: D = ℝ\{−2}.
Ta có: \(y' = \frac{{m{x^2} + 4mx + 4m - 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
y' = 0 ⇔ mx2 + 4mx + 4m – 1 = 0
Xét ∆' = 4m2 – m(4m – 1) = 4m2 – 4m2 + m = m.
Với m > 0 thì ta được y' = 0 là phương trình bâc hai có hai nghiệm phân biệt x1, x2.
Bảng biến thiên của hàm số như sau:
Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m > 0.
b) Với m = 1, ta có: y = \(\frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\)
Tập xác định: D = ℝ\{−2}.
Ta có: \(y' = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
y' = 0 ⇔ x2 + 4x + 3 = 0 ⇔ x = −3 hoặc x = −1.
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty \) .
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = - \infty \).
Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = −2 làm tiệm cận đứng.
Ta có: y = \(\frac{{{x^2} + x - 1}}{{x + 2}}\)= x – 1 + \(\frac{1}{{x + 2}}\).
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - \left( {x - 1} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{x + 2}} = 0\)
Do đó, đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ta có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị của hàm số như sau:
c) Lấy M\(\left( {t;\frac{{{t^2} + t - 1}}{{t + 2}}} \right)\) ∈ (H) bất kì.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại M là:
d: y = y'(t)(x – t) + y(t)
y = \(\frac{{{t^2} + 4t + 3}}{{{{\left( {t + 2} \right)}^2}}}\left( {x - t} \right) + \frac{{{t^2} + t - 1}}{{t + 2}}\).
Tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng tại điểm A\(\left( { - 2; - \frac{{3t + 4}}{{t + 2}}} \right)\).
Tiếp tuyến d cắt tiệm cận xiên tại điểm B(2t + 2; 2t + 1).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2t = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = (2t + 1) - \frac{{3t + 4}}{{t + 2}} = \frac{{2{t^2} + 2t - 2}}{{t + 2}} = 2{y_M}\end{array} \right.\).
Vậy M là trung điểm của đoạn AB.
Đã bán 152
Đã bán 114
Đã bán 132
Đã bán 47
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho hàm số y = \(\frac{{ax + b}}{{cx + d}}\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. bc < ad < 0.
B. ad < 0 < bc.
C. 0 < ad < bc.
D. ad < bc < 0.
Câu 2:
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đồ thị (C) tại tâm đối xứng của nó. Chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của (C).
c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 – 3x2 – m = 0 có ba nghiệm phân biệt.
Câu 3:
Cho hàm số y = \(\frac{1}{3}\)x3 + (m – 1)x2 + (2m – 3)x + \(\frac{2}{3}\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.
b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 và x2 thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\).
c) Tìm m để hàm số đồng biến trên ℝ.
d) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞).
Câu 4:
Cho hàm số \(y = \frac{{\left( {m + 1} \right)x - 2m + 1}}{{x - 1}}\).
a) Tìm m để tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 2).
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) của hàm số y = f(x) với m tìm được ở câu a.
c) Từ đồ thị (H) của hàm số y = f(x) ở câu b, vẽ đồ thị của hàm số y = \(\left| {f(x)} \right|\).
Câu 5:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 2023}}\) đồng biến trên từng khoảng xác định của nó?
A. 2 021.
B. 2 024.
C. 2 023.
D. 2 022.
Câu 6:
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
A. y = −x3 + 3x2 + 9x.
B. \(y = 2x + \frac{1}{{x + 2}}.\)
C. \(y = \frac{{2024}}{{{e^x}}}.\)
D. y = 2024lnx.
về câu hỏi!