Cho hình thang ABCD (AD // BC) có AD = 16 cm, BC = 4 cm và \(\widehat A = \widehat B = \widehat {ACD} = 90^\circ .\)

a) Kẻ đường cao CE của tam giác ACD. Chứng minh \(\widehat {ADC} = \widehat {ACE}.\) Tính sin của các góc \(\widehat {ADC},\) \(\widehat {ACE}\) và suy ra AC² = AD.AE. Từ đó tính AC.

b) Tính góc D của hình thang.

a)

Theo định lí Pythagore, ta có \({c^2} = {21^2} - {18^2} = 117\) suy ra \(c = \sqrt {117} = 3\sqrt {13} \approx 11.\)

Ta có \(\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{18}}{{21}} = \frac{6}{7}\) nên dùng MTCT ta có \(\widehat B \approx 59^\circ .\)

Do đó \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B \approx 90^\circ - 59^\circ \approx 31^\circ .\)

b)

Ta có \(\widehat B = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 30^\circ = 0^\circ ,\) \[\cos C = \cos 30^\circ = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{b}{a} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\] nên

\(a = \frac{{2b}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{2.10}}{{\sqrt 3 }} = \frac{{20\sqrt 3 }}{3} \approx 11,\) \(c = b.\tan C = 10.\tan 30^\circ = \frac{{10\sqrt 3 }}{3} \approx 6.\)

c)

Ta có a² = b² + c² = 3² + 5² = 34 nên \(a = \sqrt {34} \approx 6,\)

\(\tan B = \frac{b}{c} = \frac{3}{5},\) dùng MTCT tính được \(\widehat B \approx 31^\circ .\)

Do đó \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B \approx 90^\circ - 31^\circ \approx 59^\circ .\)

(H.4.21b)

Gọi điểm mắt người nhìn là A, ngọn cây là O, gốc cây là H, giao điểm của đường thẳng qua A song song với mặt đất là B. Ta cần tính đoạn OH.

Ta có AB = 20 m và tam giác ABO vuông tại B.

Trong tam giác vuông ABO có

\(OB = AB.\tan A = 20.\tan 36^\circ \approx 14,5\) (m).

Ta có OH = OB + BH = 14,5 + 1,7 = 16,2 (m).

Vậy cây cao 16,2 m.