Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = x² và y = \[\sqrt x \] (Hình 14).

a) Tính diện tích của D.

b) Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3. Ứng dụng hình học của tích phân có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Diện tích hình phẳng D là:

\[S = \int\limits_0^1 {\left| {\sqrt x - {x^2}} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left( {\sqrt x - {x^2}} \right)} dx\]

\[ = \left. {\left( {\frac{{2x\sqrt x }}{3} - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_0^1 = \frac{1}{3}.\]

b) Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

\[V = \pi \int\limits_0^1 {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}dx - } {\rm{ }}\pi \int\limits_0^1 {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}dx} \]

\[ = \pi \int\limits_0^1 {xdx} - \pi \int\limits_0^1 {{x^4}dx} \]

\[ = \left. {\pi .\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^1 - \left. {\pi .\frac{{{x^5}}}{5}} \right|_0^1 = \frac{{3\pi }}{{10}}\].

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một bình chứa nước dạng như Hình 13 có chiều cao là \[\frac{{3\pi }}{2}\] dm. Nếu lượng nước trong bình có chiều cao là x (dm) thì mặt nước là hình tròn có bán kính \[\sqrt {2 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \] (dm) với 0 ≤ x ≤ \[\frac{{3\pi }}{2}\]. Tính dung tích của hình (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của đềximét khối).

Lời giải

Diện tích mặt nước hình tròn bán kính \[R = \sqrt {2 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \] (dm) là:

\[S\left( x \right) = \pi {R^2} = \pi {\left( {\sqrt {2 - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} } \right)^2} = \pi .\left( {2 - \sin {\rm{x}}} \right)\] (dm²).

Dung tích của bình là:

\[V = \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} {S\left( x \right)dx = } \int\limits_0^{\frac{{3\pi }}{2}} {\pi \left( {2 - \sin x} \right)dx} \]

\[ = \left. {\pi \left( {2x + \cos x} \right)} \right|_0^{\frac{{3\pi }}{2}}\]

\[ = \pi \left( {3\pi - 1} \right) \approx 26,47\] (dm³).

Câu 2

Một bể cá có dạng là một phần hình cầu được tạo thành khi cắt hình cầu bán kính 2 dm bằng mặt phẳng cách tâm của hình cầu 1 dm (Hình 16). Tính dung tích của bể cá (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của đềximét khối).

Gợi ý: có thể coi bể cá là khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = \sqrt {4 - {x^2}} \] với −2 ≤ x ≤ 1, trục hoành và đường thẳng x = 1 quanh trục hoành.

Lời giải

Chọn hệ trục Oxy, ta có hình vẽ sau:

Một bể cá có dạng là một phần hình cầu được tạo thành khi cắt hình cầu bán kính 2 dm bằng mặt phẳng cách tâm của hình cầu 1 dm (Hình 16). Tính dung tích của bể cá (kết quả làm tròn đến hàng phần mười của đềximét khối). (ảnh 2)

Dung tích của bể cá là:

\[V = \pi \int\limits_{ - 2}^1 {{{\left( {\sqrt {4 - {x^2}} } \right)}^2}dx = \pi \int\limits_{ - 2}^1 {\left( {4 - {x^2}} \right)dx} } \]

\[ = \left. {\pi \left( {4x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 2}^1 = 9\pi \approx 28,3\] (dm³).

Câu 3