Biết \[M\left( {-{\rm{ }}2;21} \right)\] là điểm cực đại của đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} + b{x^2} + cx + 1\). Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là \(\left( {1; - 6} \right)\)

Ta có: \(y' = 6{x^2} + 2bx + c\). Vì \[M\left( {--{\rm{ }}2;21} \right)\] là điểm cực đại của đồ thị nên

\(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( { - 2} \right) = 0\\y\left( { - 2} \right) = 21\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4b + c =  - 24\\4b - 2c = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\c =  - 12\end{array} \right.\) \( \Rightarrow y' = 6{x^2} + 6x - 12\).

\(y' = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} + 6x - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.\).

Ta có: \(y\left( 1 \right) = 2 + 3 - 12 + 1 =  - 6\) suy ra điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \(\left( {1; - 6} \right)\).