Cho hàm số \(f\left( x \right)\), bảng biến thiên của hàm số \(f'\left( x \right)\) như sau

Số điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\) là 5

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có phương trình \[f'(x) = 0\] có các nghiệm là \[\left[ \begin{array}{l}x = a,\,\,\,\,a \in ( - \infty , - 1)\\x = b,\,\,\,\,b \in ( - 1;0)\end{array} \right.\].

Xét hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x} \right) \Rightarrow y' = 2\left( {x + 1} \right)f'\left( {{x^2} + 2x} \right)\), \[y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\{x^2} + 2x = a\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} + 2x = b\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\]

Xét đồ thị hàm số \[y = x{}^2 + 2x\]

Từ đồ thị ta thấy phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác -1. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.