Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(f'\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

Bất phương trình \(f\left( x \right) < m - {e^{ - x}}\) đúng với mọi \(x \in \left( { - 2;2} \right)\) khi và chỉ khi

Trả lời:………………………………

\[f\left( x \right) < m - {e^{ - x}} \Leftrightarrow f\left( x \right) + {e^{ - x}} < m\].

Xét hàm số \[g(x) = f\left( x \right) + {e^{ - x}}\] trên khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\)

\[g'(x) = f'\left( x \right) - {e^{ - x}}\].

Từ bảng biến thiên ta thấy \(f'\left( x \right) < 0,\,\,\forall x \in \left( { - 2;2} \right)\) và \( - {e^{ - x}} < 0,\,\,\forall x\) nên \(g'(x) < 0,\,\,\forall x \in \left( { - 2;2} \right)\)

Suy ra hàm số \[g(x) = f\left( x \right) + {e^{ - x}}\] nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\) và do \[g(x)\] liên tục trên

\(\left[ { - 2\,;\,2} \right]\)nên \[g(x)\] nghịch biến trên \(\left[ { - 2\,;\,2} \right]\).

Bất phương trình \[f\left( x \right) + {e^{ - x}} < m\] nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( { - 2;2} \right)\) khi và chỉ khi \(g(x) < m,{\rm{ }}\forall x \in \left( { - 2;2} \right) \Leftrightarrow g( - 2) \le m \Leftrightarrow f\left( { - 2} \right) + {e^2} \le m.\)