Khi bỏ qua sức cản của không khi, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất \(2\;{\rm{m}}\)với vận tốc ban đầu \(24,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) là \(h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\) (theo Vật lý Đại Cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây.

b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?

c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?

Ta có: \(P'\left( t \right) = \frac{{0,75a{{\rm{e}}^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {b + {{\rm{e}}^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}},t \ge 0\).

Theo đề bài, ta có: \(P\left( 0 \right) = 20\) và \(P'\left( 0 \right) = 12\).

Do đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{{b + 1}} = 20}\\{\frac{{0,75a}}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} = 12}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 20\left( {b + 1} \right)}\\{\frac{{15}}{{b + 1}} = 12.}\end{array}} \right.} \right.\)

Giải hệ phương trình này, ta được \(a = 25\) và \(b = \frac{1}{4}\).

Khi đó, \(P'\left( t \right) = \frac{{18,75{{\rm{e}}^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {\frac{1}{4} + {{\rm{e}}^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}} > 0,\forall t \ge 0\), tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.

Tuy nhiên, do \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{25}}{{\frac{1}{4} + {{\rm{e}}^{ - 0.75t}}}} = 100\) nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.

Xét hàm số \(y = C\left( x \right) = \frac{{300x}}{{100 - x}},0 \le x < 100\).

Ta có:\(y' = \frac{{30000}}{{{{\left( {100 - x} \right)}^2}}} > 0\), với mọi \(x \in [0;100)\). Do đó hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng \(\left[ {0;100} \right)\) và\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{100}^ - }} C\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{100}^ - }} \frac{{300x}}{{100 - x}} =  + \infty \) nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là \(x = 100\).

Bảng biến thiên: