Để loại bỏ \(x\% \) chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là1\(C\left( x \right) = \frac{{300x}}{{100 - x}}{\rm{, }}0 \le x < 100\) (triệu đồng). Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = C\left( x \right)\). Từ đó, hãy cho biết:

a) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi \(x\) tăng?

b) Có thể loại bỏ được \(100\% \) chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao?

Ta có: \(P'\left( t \right) = \frac{{0,75a{{\rm{e}}^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {b + {{\rm{e}}^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}},t \ge 0\).

Theo đề bài, ta có: \(P\left( 0 \right) = 20\) và \(P'\left( 0 \right) = 12\).

Do đó, ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{{b + 1}} = 20}\\{\frac{{0,75a}}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}}} = 12}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 20\left( {b + 1} \right)}\\{\frac{{15}}{{b + 1}} = 12.}\end{array}} \right.} \right.\)

Giải hệ phương trình này, ta được \(a = 25\) và \(b = \frac{1}{4}\).

Khi đó, \(P'\left( t \right) = \frac{{18,75{{\rm{e}}^{ - 0,75t}}}}{{{{\left( {\frac{1}{4} + {{\rm{e}}^{ - 0,75t}}} \right)}^2}}} > 0,\forall t \ge 0\), tức là số lượng quần thể nấm men luôn tăng.

Tuy nhiên, do \(\mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } P\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to  + \infty } \frac{{25}}{{\frac{1}{4} + {{\rm{e}}^{ - 0.75t}}}} = 100\) nên số lượng quần thể nấm men tăng nhưng không vượt quá 100 tế bào.

a) Hàm chi phí biên là \(C'\left( x \right) = 300 - 5x + 0,375{x^2}\).

b) Ta có: \(C'\left( {200} \right) = 300 - 5 \cdot 200 + 0,375 \cdot {200^2} = 14300\).

Chi phí biên tại \(x = 200\) là 14300 nghìn đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hoá tiếp theo (đơn vị hàng hoá thứ 201) là khoảng 14300 nghìn đồng.

c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201 là

\(C\left( {201} \right) - C\left( {200} \right) = 1004372,625 - 990000 = 14372,625{\rm{ }}\)(nghìn đồng)

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên \(C'\left( {200} \right)\) đã tính ở câu trên.