Giả sử chi phí \(C\left( x \right)\) (nghìn đồng) để sản xuất \(x\) đơn vị của một loại hàng hoá nào đó được cho bởi hàm số \(C\left( x \right) = 30000 + 300x - 2,5{x^2} + 0,125{x^3}\).

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm \(C'\left( {200} \right)\) và giải thích ý nghĩa.

c) So sánh \(C'\left( {200} \right)\) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201.

Để loại bỏ \(x\% \) chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí cần bỏ ra là1\(C\left( x \right) = \frac{{300x}}{{100 - x}}{\rm{, }}0 \le x < 100\) (triệu đồng). Khảo sát sự biến thiên của hàm số \(y = C\left( x \right)\). Từ đó, hãy cho biết:

a) Chi phí cần bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi \(x\) tăng?

b) Có thể loại bỏ được \(100\% \) chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao?

Khi bỏ qua sức cản của không khi, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất \(2\;{\rm{m}}\)với vận tốc ban đầu \(24,5\;{\rm{m}}/{\rm{s}}\) là \(h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\) (theo Vật lý Đại Cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây.

b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?

c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?

Xét phản ứng hoá học tạo ra chất \(C\) từ hai chất \(A\) và \(B\): . Giả sử nồng độ của hai chất \(A\) và \(B\) bằng nhau \(\left[ A \right] = \left[ B \right] = a\) (mol/l) . Khi đó nồng độ của chất \(C\) theo thời gian \(t\) \(\left( {t > 0} \right)\) được cho bởi công thức: \(\left[ C \right] = \frac{{{a^2}Kt}}{{aKt + 1}}\)(mol/l) trong đó \(K\) là hằng số dương.

a) Tìm tốc độ phản ứng tại thời điểm \(t > 0\).

b) Chứng minh nếu \(x = \left[ C \right]\) thì \(x'\left( t \right) = K{\left( {a - x} \right)^2}\)

c) Nêu hiện tượng xảy ra với nồng độ các chất khi \(t \to  + \infty \)

d) Nêu hiện tượng xảy ra với tốc độ phản ứng khi \(t \to  + \infty \)