Câu hỏi:

09/08/2025 15 Lưu

Cho hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng 4, chính giữa có một hình vuông đồng tâm với \(ABCD\). Biết rằng bốn tam giác là bốn tam giác cân. Hỏi tổng diện tích của hình vuông ở giữa và bốn tam giác cân nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4, chính giữa có một hình vuông đồng tâm với ABCD (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Chọn C

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4, chính giữa có một hình vuông đồng tâm với ABCD (ảnh 2)

Đặt \(AM = x\,\,\,\left( {0 < x < 4} \right) \Rightarrow ME = 4 - 2x\).

\[2M{Q^2} = {\left( {4 - 2x} \right)^2} \Leftrightarrow M{Q^2} = 2{\left( {2 - x} \right)^2} \Leftrightarrow MQ = \sqrt {2\left( {2 - x} \right)} \]

Gọi \(S\) tổng diện tích của hình vuông ở giữa và bốn tam giác cân nhỏ.

\(S = 4.\frac{{M{Q^2}}}{2} + P{Q^2} = 2M{Q^2} + M{N^2} = {\left( {4 - 2x} \right)^2} + {\left( {x\sqrt 2 } \right)^2} = 6{x^2} - 16x + 16\)\( = 0 \Leftrightarrow x = \frac{4}{3}\)

Bảng biến thiên

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4, chính giữa có một hình vuông đồng tâm với ABCD (ảnh 3)
Vậy \({S_{\min }} = \frac{{16}}{3}\)

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Chọn A

Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng phụ lần lượt là x, y. Đường kính của khúc gỗ là d, khi đó tiết diện ngang của thanh xà có độ dài cạnh là \(\frac{d}{{\sqrt 2 }}\) và \(0 < x < \frac{{d\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4},0 < y < \frac{d}{{\sqrt 2 }}\)

Theo đề Câu ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, theo định lý Pitago ta có:

\({\left( {2x + \frac{d}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {y^2} = {d^2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 x} \)

Do đó, miếng phụ có diện tích là: \(S\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} \) với \(0 < x < \frac{{d\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4}\)

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \(S'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx}  + \frac{{x\left( { - 8x - 2\sqrt 2 d} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} }}\)\( = \frac{{ - 16{x^2} - 6\sqrt 2 dx + {d^2}}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} }}\)

\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 16{x^2} - 6\sqrt 2 dx + {d^2} = 0 \Leftrightarrow  - 16{\left( {\frac{x}{d}} \right)^2} - 6\sqrt 2 \left( {\frac{x}{d}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt {34}  - 3\sqrt 2 }}{{16}}d\)

Vậy miếng phụ có kích thước \(x = \frac{{\sqrt {34}  - 3\sqrt 2 }}{{16}}d,y = \frac{{\sqrt {7 - \sqrt {17} } }}{4}d\)

Lời giải

Chọn B

Gọi chiều rộng của bể là \(3x{\rm{ }}\left( m \right)\). Ta có chiều dài bể là \(4x{\rm{ }}(m)\) và chiều cao của bể là \(\frac{2}{{3{x^2}}}{\rm{ }}\left( m \right)\)

Khi đó tổng diện tích bề mặt xây là:

\(T = \left( {3x + 4x} \right).2.\frac{2}{{3{x^2}}} + 2.3x.4x - \frac{2}{9}.3x.4x = \frac{{28}}{{3{x^2}}} + \frac{{64{x^2}}}{3} \ge 2.\sqrt {\frac{{28}}{{3{x^2}}}.\frac{{64{x^2}}}{3}}  = \frac{{32\sqrt 7 }}{3}{\rm{ }}\left( {{m^2}} \right)\).

Chi phí \(C\) (tính theo đồng) xây dựng là: \(C = T.980000 \ge \frac{{32\sqrt 7 }}{3}.980000 \approx 27657000\) (đồng).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP