Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức: \[N\left( t \right) = 1000 + \frac{{100t}}{{100 + {t^2}}}({\rm{con}}),\]trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây. Tính số lượng vi khuẩn lớn nhất kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.

Công ti truyền hình cáp Vista hiện có 100000 thuê bao. Mỗi thuê bao đang trả cước thuê bao 40$/ tháng. Một cuộc khảo sát cho thấy cứ mỗi lần giảm $\mathrm{0,25}\$$ cước thuê bao, công ti có thể có thêm 1000 thuê bao. Để doanh thu thu được là tối đa, công ti cần xác định mức cước thuê bao mỗi tháng là bao nhiêu?

Cắt một đoạn dây dài \(60{\rm{m}}\)thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một tam giác đều có diện tích \({S_1}\), đoạn dây thứ hai gấp thành một hình vuông có diện tích \({S_2}\) (như hình vẽ dưới)

Khi đó giá trị nhỏ nhất của tổng \(T = {S_1} + {S_2}\) là bao nhiêu?

Một bài báo trong tạp chí xã hội học phát biểu rằng nếu một chương trình chăm sóc sức khỏe đặc biệt cho người già được khởi xướng, thì \(t\) năm sau khi nó được khởi động, \[n\] ngàn người già có thể trực tiếp nhận được các phúc lợi, trong đó \(n = \frac{{{t^3}}}{3} - 6{t^2} + 32t\,\,\,\left( {0 \le t \le 12} \right)\). Với giá trị nào của \[t\] thì số người nhận phúc lợi tối đa là bao nhiêu?

Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường đi được là \(s\left( t \right)\) (km) là hàm phụ thuộc theo biến \(t\) (giây) tuân theo biểu thức sau: \(s\left( t \right) = {e^{{t^2} + 3}} + 2t{e^{3t + 1}}\) (km). Vận tốc của tên lửa sau 1 giây là \(m.{e^n}\) (km/s). Tính \(T = m + n\)  (Biết hàm biểu thị vận tốc là đạo hàm cấp một của hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)?

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật Logistic được mô hình hoá bằng hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - t}}}},t \ge 0,\)trong đó thời gian \(t\) được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm \(f'\left( t \right)\) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?