Một con cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt một khoảng cách là $300\;$km. Vận tốc dòng nước là $6$(km/h). Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $v$(km/h) thì năng lượng tiêu hao của cá trong $t$ giờ được cho bởi công thức $E\left( v \right) = c{v^3}t$ (trong đó $c$ là hằng số dương, $E$ được tính bằng đơn vị Jun). Cá bơ ngược dòng quãng đường $300\;$km trên trong khoảng thời gian \[t\] với vận tốc bằng bao nhiêu để năng lượng tiêu hao là thấp nhất?

Câu hỏi trong đề: (Trả lời ngắn) 23 bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Vận tốc khi cá bơi ngược dòng sẽ là $v - 6\,$(km/h).

Thời gian để bơi quãng đường $300\;$km là $t = \frac{{300}}{{v - 6}}\left( h \right)$.

Năng lượng tiêu hao là $E\left( v \right) = 300c\frac{{{v^3}}}{{v - 6}}\,\left( J \right)$.

Do $c > 0 \Rightarrow E{\left( v \right)_{\min }} \Leftrightarrow \frac{{{v^3}}}{{v - 6}} = {\left( {f\left( v \right)} \right)_{\min }}$.

Với $v > 6$ ta có $f'\left( v \right) = \frac{{3{v^2}\left( {v - 6} \right) - {v^3}}}{{{{\left( {v - 6} \right)}^2}}} = \frac{{2{v^3} - 18v}}{{{{\left( {v - 6} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{v = 0}\\{v = 9.}\end{array}} \right.$

Lập bảng biến thiên ta nhận $v = 9$ (do $v > 6$).

Vậy để năng lượng tiêu hao là thấp nhất thì vận tốc là $9$(km/h).

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cắt một đoạn dây dài $60{\rm{m}}$thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một tam giác đều có diện tích ${S_1}$, đoạn dây thứ hai gấp thành một hình vuông có diện tích ${S_2}$ (như hình vẽ dưới)

Khi đó giá trị nhỏ nhất của tổng $T = {S_1} + {S_2}$ là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi độ dài đoạn dây gấp tam giác đều là $x$ thì độ dài đoạn dây gấp hình vuông là $60 - x$(mét)

(Trả lời ngắn) Cắt một đoạn dây dài thành hai đoạn dây, đoạn dây thứ nhất gấp thành một tam giác đều có diện tích s1 (ảnh 2)

Khi đó $x = 3a \Leftrightarrow a = \frac{x}{3} \Rightarrow {S_1} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{{36}}$

Mặt khác: $60 - x = 4b \Rightarrow b = \frac{{60 - x}}{4} \Rightarrow {S^2} = {b^2} = {\left( {\frac{{60 - x}}{4}} \right)^2}$

Khi đó ${S_1} + {S_2} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{{36}} + {\left( {\frac{{60 - x}}{4}} \right)^2} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \frac{{\left( {9 + 4\sqrt 3 } \right){x^2} - 1080x + 32400}}{{144}}$

Dễ dàng tính được ${\left( {{S_1} + {S_2}} \right)_{\min }} = \min \,f\left( x \right) = f\left( {\frac{{540}}{{9 + 4\sqrt 3 }}} \right) \approx 97,87\,\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Câu 2

Công ti truyền hình cáp Vista hiện có 100000 thuê bao. Mỗi thuê bao đang trả cước thuê bao 40$/ tháng. Một cuộc khảo sát cho thấy cứ mỗi lần giảm $0,25 $$ cước thuê bao, công ti có thể có thêm 1000 thuê bao. Để doanh thu thu được là tối đa, công ti cần xác định mức cước thuê bao mỗi tháng là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi $x$ là số lần giảm $0,25\$ $. Cước thuê bao hàng tháng lúc này là $40 - 0,25x$ với $0 \le x \le 160$ (do mức cước không thể âm), và số thuê bao mới là $1000x$.

Do đó, tổng số thuê bao là $100000 + 1000x$.

Hàm doanh thu được cho bởi R = (số thuê bao) x (cước mỗi thuê bao trả)

\[R = \left( {100000 + 1000x} \right)\left( {40 - 0,25x} \right) = 1000\left( {100 + x} \right)\left( {40 - 0,25x} \right) = 1000\left( {4000 + 15x - 0,25{x^2}} \right)\]

Đạo hàm $R' = 0$, ta được $R' = 1000\left( {15 - 0,5x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 30.{\rm{ }}$

Vì tập xác định của $R$ là khoảng đóng [0; 160] nên $R$ đạt cực đại tại $x = 30$ hoặc tại các điểm đầu mút của đoạn [0; 160].

Ta có: \[R\left( 0 \right) = 4000000;\,\,R\left( {30} \right) = 4225000\,;\,\,R\left( {160} \right) = 0\]

Vậy doanh thu tối đa khi $x = 30$. Điều này tương ứng với 30 lần giảm $0,25\$ $, tức là cước thuê bao hàng tháng là $40\$ - 7,5\$ = 32,5\$ $.

Số thuê bao tại mức cước này là $100000 + 30.\left( {1000} \right) = 130000$.

Câu 3