Một người nông dân có $15\,\,000\,\,000$đồng để làm một hàng rào hình chữ $E$ dọc theo một con sông bao quanh hai khu đất trồng rau có dạng hai hình chữ nhật bằng nhau (hình vẽ dưới). Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là $60\,\,000$ đồng/mét, còn đối vối ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là $50\,\,000$ đồng/mét, mặt giáp với bờ sông không phải rào. Tìm diện tích lớn nhất của hai khu đất thu được sau khi làm hàng rào.

Câu hỏi trong đề: (Trả lời ngắn) 23 bài tập Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn (có lời giải) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi độ dài của hàng rào song sông với bờ sông là $x$ với $x > 0$

Gọi độ dài của mỗi hàng rào trong ba hàng rào song song nhau là $y$ với $y > 0$

Diện tích đất mà bác nông dân rào được là: $xy\left( {{m^2}} \right)$

Tổng chi phí là $15\,\,000\,\,000$ đồng nên ta có phương trình:

$x60000 + 3y50000 = 15000000 \Rightarrow 6x + 15y = 1500$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương ta có:

$6x + 15y \ge 2\sqrt {6x.5y} = > 1500 \ge 2\sqrt {90xy} = > xy \le 6250$

Vậy diện tích lớn nhất mà bác nông dân có thể tạo rào là $6250\left( {\;{m^2}} \right)$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Công ti truyền hình cáp Vista hiện có 100000 thuê bao. Mỗi thuê bao đang trả cước thuê bao 40$/ tháng. Một cuộc khảo sát cho thấy cứ mỗi lần giảm $0,25 $$ cước thuê bao, công ti có thể có thêm 1000 thuê bao. Để doanh thu thu được là tối đa, công ti cần xác định mức cước thuê bao mỗi tháng là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi $x$ là số lần giảm $0,25\$ $. Cước thuê bao hàng tháng lúc này là $40 - 0,25x$ với $0 \le x \le 160$ (do mức cước không thể âm), và số thuê bao mới là $1000x$.

Do đó, tổng số thuê bao là $100000 + 1000x$.

Hàm doanh thu được cho bởi R = (số thuê bao) x (cước mỗi thuê bao trả)

\[R = \left( {100000 + 1000x} \right)\left( {40 - 0,25x} \right) = 1000\left( {100 + x} \right)\left( {40 - 0,25x} \right) = 1000\left( {4000 + 15x - 0,25{x^2}} \right)\]

Đạo hàm $R' = 0$, ta được $R' = 1000\left( {15 - 0,5x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 30.{\rm{ }}$

Vì tập xác định của $R$ là khoảng đóng [0; 160] nên $R$ đạt cực đại tại $x = 30$ hoặc tại các điểm đầu mút của đoạn [0; 160].

Ta có: \[R\left( 0 \right) = 4000000;\,\,R\left( {30} \right) = 4225000\,;\,\,R\left( {160} \right) = 0\]

Vậy doanh thu tối đa khi $x = 30$. Điều này tương ứng với 30 lần giảm $0,25\$ $, tức là cước thuê bao hàng tháng là $40\$ - 7,5\$ = 32,5\$ $.

Số thuê bao tại mức cước này là $100000 + 30.\left( {1000} \right) = 130000$.

Câu 2

Một bài báo trong tạp chí xã hội học phát biểu rằng nếu một chương trình chăm sóc sức khỏe đặc biệt cho người già được khởi xướng, thì $t$ năm sau khi nó được khởi động, \[n\] ngàn người già có thể trực tiếp nhận được các phúc lợi, trong đó $n = \frac{{{t^3}}}{3} - 6{t^2} + 32t\,\,\,\left( {0 \le t \le 12} \right)$. Với giá trị nào của \[t\] thì số người nhận phúc lợi tối đa là bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Đạo hàm $n'\left( t \right) = 0$ ta có $n'\left( t \right) = {t^2} - 12t + 32 = 0 \Leftrightarrow \left( {t - 4} \right)\left( {t - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = 4}\\{t = 8.}\end{array}} \right.$

Vì tập xác định của $n$ là một khoảng đóng $\left[ {0;12} \right]$ nên $n$ đạt cực đại tuyệt đối tại $t = 0,t = 4,t = 8$ hoặc $t = 12$:

$n\left( 0 \right) = \frac{{{0^3}}}{3} - 6\left( {{0^2}} \right) + 32.0 = 0;\,\,n\left( 4 \right) = \frac{{{4^3}}}{3} - 6\left( {{4^2}} \right) + 32.4 = \frac{{160}}{3}$

$n\left( 8 \right) = \frac{{{8^3}}}{3} - 6\left( {{8^2}} \right) + 32.8 = \frac{{128}}{3};\,\,n\left( {12} \right) = \frac{{{{12}^3}}}{3} - 6\left( {{{12}^2}} \right) + 32.12 = \frac{{288}}{3} = 96$

Do đó $n$ đạt cực đại khi $t = 12$ (năm).

Câu 3