Cho các số \(x,y,z \ne 0\) thỏa mãn đồng thời \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2\) và \(\frac{2}{{xy}} - \frac{1}{{{z^2}}} = 4\). Tính giá trị của biểu thức \(P = {\left( {x + 2y + z} \right)^{2024}}\).

Đáp án: 1

Ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2\) nên \({\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} = 4\) mà \(\frac{2}{{xy}} - \frac{1}{{{z^2}}} = 4\) nên ta được:

\({\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} = \frac{2}{{xy}} - \frac{1}{{{z^2}}}\)

Suy ra \(\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} + \frac{1}{{{z^2}}} + \frac{2}{{xy}} + \frac{2}{{xz}} + \frac{2}{{yz}} - \frac{2}{{xy}} + \frac{1}{{{z^2}}} = 0\)

           \(\left( {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{2}{{xz}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{y^2}}} + \frac{2}{{yz}} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right) = 0\)

            \({\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{z}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} = 0\)

Do đó, \({\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{z}} \right)^2} = 0\) và \({\left( {\frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)^2} = 0\) suy ra \(x = y =  - z\).

Thay \(x = y =  - z\) vào \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2\) ta được \(\frac{1}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 2\) hay \(\frac{1}{x} = 2\), suy ra \(x = \frac{1}{2}.\)

Do đó, ta được \(x = y = \frac{1}{2}\) và \(z =  - \frac{1}{2}\).

Vậy \(P = {\left( {\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2}} \right)^{2024}} = 1\).