Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} \right)x - 3\), với \(m\) là tham số

a) Với mọi m hàm số luôn có hai điểm cực trị.

b) Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng \(2\).

c) Không tồn tại giá trị của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

d) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1;\,1} \right)\) khi và chỉ khi \(m \ge - 1\).

a) Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \((1; + \infty ).\)

b) Giá trị cực đại là y = 3, giá trị cực tiểu là y = –1. Do đó tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho là \(3 - 1 = 2.\)

c) Hàm số  \(y = f(x)\)có hai cực trị là \(x =  \pm 1.\)

d) Gọi \[d:y = {\rm{ax}} + b\] là đường thẳng qua hai điểm cực trị \[A( - 1;3),B(1; - 1).\]

\[A,B \in d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a + b = 3\\a + b =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 1\end{array} \right. \Rightarrow d:y =  - 2x + 1\]

Ta có : \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x =  - 4\\x = 2\end{array} \right.\]

Xét \[u\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + 8x + 6\]có \[u'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x + 8 > 0\forall x \in \mathbb{R}\]

Do đó số điểm của trị của hàm số \[g\left( x \right) = \left( {\left| {{x^3} + 3{x^2} + 8x + 6} \right| + m} \right)\] bằng số điểm của trị của hàm số: \[h\left( x \right) = \left( {\left| x \right| + m} \right)\].

Ta có : \(h'\left( x \right) = \frac{x}{{\left| x \right|}}f'\left( {\left| x \right| + m} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( 1 \right)\\f'\left( {\left| x \right| + m} \right) = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

+) Xét \(\left( 1 \right):x = 0\) làm cho \(h'\left( x \right)\) đổi dấu và xác định với \[y = f\left( x \right)\] nên \(x = 0\)là 1 điểm cực trị.

+) Xét \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f'\left( {\left| x \right| + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| x \right| + m = 6\\\left| x \right| + m =  - 4\\\left| x \right| + m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| x \right| - 6 =  - m\\\left| x \right| - 2 =  - m\\\left| x \right| + 4 =  - m\end{array} \right.\left( * \right)\)

Để hàm số \[h\left( x \right)\]có ít nhất 3 điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \left( * \right)\]có ít nhất 2 nghiệm đơn. Biểu diễn vế trái của \[\left( * \right)\] trên cùng một hệ trục tọa độ ta có: \( - m >  - 6 \Leftrightarrow m < 6\). Mà \(m\)nguyên dương nên có 5 giá trị \(m\)thỏa mãn ycbt.