Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 2m} \right)x - 3\), với \(m\) là tham số

a) Với mọi m hàm số luôn có hai điểm cực trị.

b) Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng \(2\).

c) Không tồn tại giá trị của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

d) Hàm số nghịch biến trên \(\left( { - 1;\,1} \right)\) khi và chỉ khi \(m \ge - 1\).

a) Đúng:  Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m\). Do \(\Delta ' = {b'^2} - ac = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 2m} \right) = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Nên hàm số luôn có hai điểm cực trị.

b) Đúng: Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 2m\). Do \(\Delta ' = {b'^2} - ac = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 2m} \right) = 1 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - m\) và \({x_2} =  - m - 2\).

Hàm   số luôn nghịch biến trên khoảng \(\left( { - m - 2; - m} \right)\).

Ta có: \( - m - ( - m - 2) = 2\) 

c) Đúng: Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra không tồn tại giá trị của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

d) Sai: Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;\,1} \right)\) khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l} - m - 2 \le  - 1\\ - m \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  - 1\)