Cho hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 2x - 1 - 5m}}{{x - m}}\)

a) Hàm số xác định với mọi \(x\).

b) Có 2019 giá trị nguyên dương bé hơn 2024 của tham số \(m\)để  hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + 2x - 1 - 5m}}{{x - m}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;5} \right)\).

c) \(m = 0\) thì hàm số có hai cực trị.

d) Nếu đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì hai điểm cực trị đó luôn nằm trên đường thẳng cố định.

a) Sai. Tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\]

b) Đúng Tập xác định \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\] và có \(y' = \frac{{2{x^2} - 4mx + 3m + 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;5} \right)\)

\( \Leftrightarrow y' = \frac{{2{x^2} - 4mx + 3m + 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} \le 0\forall x \in \left( {1;5} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x^2} - 4mx + 3m + 1 \le 0\forall x \in \left( {1;5} \right)\\m \notin \left( {1;5} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 3 \le 0\\ - 17m + 51 \le 0\\\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge 3\\m \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 5\)

Do nguyên dương bé hơn 2024 nên \(5 \le m \le 2023\). Vậy có tất cả 2019 giá trị.

c) Sai. Với \(m = 0\) thì \(y' = \frac{{2{x^2} + 1}}{{{x^2}}} > 0\,\forall x \ne 0\)

Vậy hàm số không có cực trị với \(m = 0\).

d) Đúng. Giả sử đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi đó hai điểm cực trị hàm số luôn nằm trên   đường thẳng \(y = 4x + 2\)

Chú ý:

Áp dụng tính chất: Nếu \[{x_0}\] là điểm cực trị của hàm số hữu tỷ \[y = \frac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}\] thì giá trị cực trị tương ứng của hàm số là \[{y_0} = \frac{{u\left( {{x_0}} \right)}}{{v\left( {{x_0}} \right)}} = \frac{{u'\left( {{x_0}} \right)}}{{v'\left( {{x_0}} \right)}}\]. Suy ra với bài toán trên ta có phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \[y = \frac{{{{\left( {2{x^2} + 2x - 1 - 5m} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - m} \right)}^\prime }}} = 4x + 2\].