Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right) = \left( {x - 6} \right)\left( {{x^2} + 2x - 8} \right),\forall x \in \mathbb{R}.\]Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \[m\]để hàm số \[g\left( x \right) = \left( {\left| {{x^3} + 3{x^2} + 8x + 6} \right| + m} \right)\]có ít nhất 3 điểm cực trị?

Ta có : \[f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 6\\x =  - 4\\x = 2\end{array} \right.\]

Xét \[u\left( x \right) = {x^3} + 3{x^2} + 8x + 6\]có \[u'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x + 8 > 0\forall x \in \mathbb{R}\]

Do đó số điểm của trị của hàm số \[g\left( x \right) = \left( {\left| {{x^3} + 3{x^2} + 8x + 6} \right| + m} \right)\] bằng số điểm của trị của hàm số: \[h\left( x \right) = \left( {\left| x \right| + m} \right)\].

Ta có : \(h'\left( x \right) = \frac{x}{{\left| x \right|}}f'\left( {\left| x \right| + m} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( 1 \right)\\f'\left( {\left| x \right| + m} \right) = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

+) Xét \(\left( 1 \right):x = 0\) làm cho \(h'\left( x \right)\) đổi dấu và xác định với \[y = f\left( x \right)\] nên \(x = 0\)là 1 điểm cực trị.

+) Xét \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f'\left( {\left| x \right| + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| x \right| + m = 6\\\left| x \right| + m =  - 4\\\left| x \right| + m = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| x \right| - 6 =  - m\\\left| x \right| - 2 =  - m\\\left| x \right| + 4 =  - m\end{array} \right.\left( * \right)\)

Để hàm số \[h\left( x \right)\]có ít nhất 3 điểm cực trị \[ \Leftrightarrow \left( * \right)\]có ít nhất 2 nghiệm đơn. Biểu diễn vế trái của \[\left( * \right)\] trên cùng một hệ trục tọa độ ta có: \( - m >  - 6 \Leftrightarrow m < 6\). Mà \(m\)nguyên dương nên có 5 giá trị \(m\)thỏa mãn ycbt.