Anh Hà dự định làm một cái thùng đựng dầu hình trụ bằng sắt có nắp đậy thể tích \(10\,{m^3}\). Chi phí làm mỗi \({m^2}\) đáy là 400 ngàn đồng, mỗi \({m^2}\) nắp là 200 ngàn đồng, mỗi \({m^2}\) mặt xung quanh là 300 ngàn đồng. Để chi phí làm thùng là ít nhất thì anh Hà cần chọn chiều cao của thùng là……………………….. (Xem độ dày của tấm sắt làm thùng là không đáng kể, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Đáp số: \(2,34\)

Gọi bán kính đáy của hình trụ là \(R,R > 0\). Ta có

\(V = \pi {R^2}h \Rightarrow h = \frac{{10}}{{\pi {R^2}}}\).

Suy ra chi phí (đơn vị ngàn đồng) làm thùng

\(\begin{array}{l}C = \pi {R^2}.400 + \pi {R^2}.200 + 2\pi Rh.300\\\,\,\,\,\, = 600\left( {\pi {R^2} + \frac{{10}}{R}} \right)\end{array}\).

\(C' = 600\left( {2\pi R - \frac{{10}}{{{R^2}}}} \right)\); \(C' = 0 \Leftrightarrow 2\pi R - \frac{{10}}{{{R^2}}} = 0 \Leftrightarrow {R^3} = \frac{5}{\pi } \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{5}{\pi }}}\)

Bảng biến thiên

Dẫn dến

\(\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} C = 1800\sqrt[3]{{25\pi }} \Leftrightarrow R = \sqrt[3]{{\frac{5}{\pi }}}\).

Vậy để chi phí nhỏ nhất thì chiều cao của hình trụ là \(h = \frac{{10}}{{\sqrt[3]{{25\pi }}}} \approx 2,34\,m\).