Cho hàm số có \(f\left( x \right)\) có đạo hàm là hàm \(f'\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Biết rằng \(f\left( 0 \right) - f\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right)\). Giả sử giá trị nhỏ nhất \(m\) và giá trị lớn nhất \(M\) của \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\)đạt được lần lượt tại \({x_0}\)và\({x_1}\). Tìm\({x_0}\)và\({x_1}\).

Vậy giá trị lớn nhất \(M = f\left( 2 \right) \Rightarrow {x_1} = 2\) .

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;4} \right)\)nên \(f\left( 2 \right) > f\left( 3 \right) \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 3 \right) > 0\) .

Theo giả thuyết: \(f\left( 0 \right) - f\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right)\)

\( \Leftrightarrow f\left( 0 \right) - f\left( 4 \right) = f\left( 2 \right) - f\left( 3 \right) > 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) > f\left( 4 \right)\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất \(m = f\left( 4 \right) \Rightarrow {x_0} = 4\) .

Vậy \({x_0} = 4;\,{x_1} = 2\), ta có \({x_0} + {x_1} = 6\)