Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc hai và có đồ thị hàm số \(f\left( {{x^2} - 1} \right)\) như hình vẽ.

Đặt \[g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2}} \right) + m} \right|\]. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc [-2024;2024] của tham số m để với mọi bộ ba số phân biệt \[a,b,c\] thuộc [-2;2] ta đều có bộ ba số \[g\left( a \right);g\left( b \right);g\left( c \right)\]là số đo độ dài ba cạnh của một tam giác? 

Đáp án: 4021.

Từ đồ thị ta có, \[f\left( {{x^2} - 1} \right) = k{{\rm{x}}^2}({x^2} - 4) = h\left( x \right)\]

Vì \[h'\left( x \right) = k\left( {4{{\rm{x}}^3} - 8{\rm{x}}} \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{[}}_{x = 0}^{x =  \pm \sqrt 2 }\].

Dựa theo đồ thị \[h\left( {\sqrt 2 } \right) = 4 \Rightarrow k.2.\left( {2 - 4} \right) = 4 \Rightarrow k =  - 1 \Rightarrow f\left( {{x^2} - 1} \right) =  - {x^2}\left( {{x^2} - 4} \right)\]

Đặt \[t = {x^2} - 1 \Rightarrow f\left( t \right) =  - \left( {t + 1} \right)(t - 3) \Rightarrow f\left( x \right) =  - {x^2} + 2{\rm{x}} + 3\] nên \[f\left( {{x^2}} \right) =  - {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} + 3\]

Vì vậy \[g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2}} \right) + m} \right| = \left| { - {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} + 3 + m} \right|\]

Hàm số \[p(x) =  - {x^4} + 2{{\rm{x}}^2} + 3 + m\]có bảng biến thiên trên [-2;2] là

Vì \[g\left( a \right);g\left( b \right);g\left( c \right)\] luôn dương khi \[a,b,c\] thuộc [-2;2] nên

\[g\left( x \right) = \left| {p\left( x \right)} \right| > 0\forall x \in {\rm{[}} - 2;2] \Leftrightarrow {\rm{[}}_{p\left( x \right) < 0\forall x \in {\rm{[}} - 2;2]}^{p\left( x \right) > 0\forall x \in {\rm{[}} - 2;2]} \Leftrightarrow {\rm{[}}_{m + 4 < 0}^{m - 5 > 0} \Leftrightarrow {\rm{[}}_{m <  - 4}^{m > 5}\]

TH1: m > 5 thì giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số p(x) lần lượt là m+4 và m-5

Để \[g\left( a \right);g\left( b \right);g\left( c \right)\]luôn là số đo độ dài ba cạnh của một tam giác với mọi bộ ba số phân biệt \[a,b,c\] thuộc [-2;2] thì \[g\left( a \right) + g\left( b \right) > g\left( c \right),\forall a,b,c\] phân biệt thuộc [-2;2]

Từ đó \[\min \left( {g\left( a \right) + g\left( b \right)} \right) > \max g\left( c \right),\forall a,b,c\]phân biệt thuộc [-2;2]

                                                       hay \[2\left( {m - 5} \right) > m + 4 \Leftrightarrow m > 14\]

TH2: m < -4 thì giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số p(x) lần lượt là 5-m và –m-4

Để \[g\left( a \right);g\left( b \right);g\left( c \right)\]luôn là số đo độ dài ba cạnh của một tam giác với mọi bộ ba số phân biệt \[a,b,c\] thuộc [-2;2] thì \[g\left( a \right) + g\left( b \right) > g\left( c \right),\forall a,b,c\] phân biệt thuộc [-2;2]

Từ đó \[\min \left( {g\left( a \right) + g\left( b \right)} \right) > \max g\left( c \right),\forall a,b,c\]phân biệt thuộc [-2;2]

                                                        hay \[2\left( { - m - 4} \right) > 5 - m \Leftrightarrow m <  - 13\]

Kết hợp với m nguyên và thuộc [-2024;2024] ta được 4021 giá trị của m thỏa mãn bài toán.