Đề kiểm tra Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (có lời giải) - Đề 5

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4}}{x},\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}\). Khi đó \(f'\left( x \right) = 0,x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow x = 2\).

Ngoài ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }}  =  + \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  =  + \infty \)

Ta có bảng biến thiên hàm số như sau:

Ta có \(y = {x^4} - 4{x^2} + 5 \Rightarrow y' = 4{x^3} - 8x\) , \(y' = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 8x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt 2 \\x =  - \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Do: \(f(\sqrt 2 ) = 1\,;f( - \sqrt 2 ) = 1\,;\,f(0) = 5\,;\,f( - 2) = 5\,;\,f(3) = 50\).

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 5\)trên \(\left[ { - 2;3} \right]\)là \(50\) tại \(x = 3\).

Xét hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - 1\,;\,3} \right]\). Dựa vào đồ thị ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( x \right) = f\left( 3 \right) = 3\).

Dựa vào đồ thị hàm số, ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}M = 0\\m =  - 4\end{array} \right. \Rightarrow M + m =  - 4.\).

Ta có \( - 1 \le \cos 5x \le 1 \Leftrightarrow  - 2 \le 2\cos 5x \le 2 \Leftrightarrow  - 1 \le 2\cos 5x + 1 \le 3\).

Đặt \(t = 2\cos 5x + 1\) với \(x \in \left[ { - 2;3} \right]\) thì \(t \in \left[ { - 1;3} \right]\).

Khi đó, \(y = f\left( {2\cos 5x + 1} \right) = f\left( t \right)\) với \(t \in \left[ { - 1;3} \right]\).

Suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}M = 5\\m = 0\end{array} \right. \Rightarrow M - 2m = 5.\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;5} \right]\)

Từ bảng biến thiên ta thấy \(\mathop {Min}\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right);f\left( 2 \right) < f\left( 3 \right)\)

Mà \(f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) = f\left( 2 \right) + f\left( 5 \right)\) nên \(f\left( 5 \right) > f\left( 0 \right)\)

Vậy \(\mathop {Max}\limits_{\left[ {0;5} \right]} f\left( x \right) = f\left( 5 \right)\).

Từ bảng biến thiên của hàm số \[y = f\left( x \right)\] và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) =  - 4\) ta suy ra không tồn tại giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)\) trên nửa khoảng \(\left[ { - 1;\, + \infty } \right)\).

Trên đoạn \(\left[ { - 1;\,2} \right]\), giá trị lớn nhất của hàm số là \(M = 3\), giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(m = 0\) . Vậy \(2M + 3m = 6.\)