Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) tại mọi \(x \in \mathbb{R}\). Đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) được cho như hình vẽ dưới đây.

Biết rằng \(f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) = f\left( 2 \right) + f\left( 5 \right)\). Hãy tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;5} \right]\)?

Đáp án: 2.

Phương trình tiệm cận ngang là \(y = m\)

Phương trình tiệm cận đứng là \(x =  - m\)

Theo đề bài ta có: \(\left| m \right|\left| { - m} \right| = 4 \Leftrightarrow {m^2} = 4 \Leftrightarrow m =  \pm 2\)

Vậy S có 2 phần tử.

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4}}{x},\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}\). Khi đó \(f'\left( x \right) = 0,x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow x = 2\).

Ngoài ra: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }}  =  + \infty ,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty }  =  + \infty \)

Ta có bảng biến thiên hàm số như sau: