Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) bằng \(2\). Số phần tử của tập \(S\) là

Xét \(y = \frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}\). Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\), \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;2} \right]\\x =  - 2 \notin \left[ {1;2} \right]\end{array} \right.\).

Mà \(f\left( 1 \right) = \frac{{2m + 1}}{2},f\left( 2 \right) = \frac{{3m + 4}}{3} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y \in \left\{ {\left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right|;\left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right|} \right\}\).

Trường hợp 1: \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = \left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right| = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\\m =  - \frac{5}{2}\end{array} \right.\).

• Với \(m = \frac{3}{2} \Rightarrow \left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right| = \frac{{17}}{6} > 2\) (loại)

• Với \(m =  - \frac{5}{2} \Rightarrow \left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right| = \frac{7}{6} < 2\) (thỏa mãn)

Trường hợp 2: \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} y = \left| {\frac{{3m + 4}}{3}} \right| = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 4 = 6\\3m + 4 =  - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m =  - \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\).

• Với \(m = \frac{2}{3} \Rightarrow \left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right| = \frac{7}{6} < 2\) (thỏa mãn)

• Với \(m =  - \frac{{10}}{3} \Rightarrow \left| {\frac{{2m + 1}}{2}} \right| = \frac{{17}}{6} > 2\) (loại)

Vậy có \(2\) giá trị của \(m\) thỏa mãn.