Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}\) \[\left( C \right)\].

a) Khi \(m = 0\), hàm số có tiệm cận ngang \(y = 1\).

b) Khi \(m = 0\), hàm số có 3 tiệm cận.

c) Có hai giá trị của m để hàm số có đúng một TCĐ.

d) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của \(m \in \left[ { - 8;8} \right]\) để hàm số có ba đường tiệm cận. Số phần tử của S là \(7\).

a) Đúng

Khi \(m = 0\) hàm số trở thành \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{1 + \frac{1}{x} - \frac{2}{{{x^2}}}}}{{1 - \frac{2}{x}}} = 1\) nên hàm số có tiệm cận ngang \(y = 1\).

b) Đúng.

Khi \(m = 0\) hàm số trở thành \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x}}\)

Hàm số có 2 tiệm cận đứng là \(x = 0\); \(x = 2\)và 1 tiệm cận ngang là \(y = 1\), nên hàm số có 3 tiệm cận.

c) Đúng.

Hàm số có 1 TCĐ khi \(x = 1;x =  - 2\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2x + m = 0\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2 + m = 0\\4 + 4 + m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m =  - 8\end{array} \right.\)

d) Sai.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}\) có hai tiệm cận đứng khi và chỉ khi phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - 2x + m\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\) và \( - 2\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\f\left( 1 \right) \ne 0\\f\left( { - 2} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m > 0\\m \ne 1\\m \ne  - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 1\\m \ne  - 8\end{array} \right.\).

Vì \(m \in \left[ { - 8;8} \right]\) nên \(S = \left\{ { - 7; - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0} \right\}\)