Từ một tấm tôn hình chữ nhật có các kích thước là \(x\,\left( m \right)\), \(y\,\left( m \right)\) với \(x > 2\)và \(y > 2\) và diện tích bằng \(10{m^2}\), người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một cái thùng dạng hình hộp chữ nhật không nắp (như hình vẽ) có chiều cao bằng \[1\,m\]. Thể tích của thùng là hàm số \(V\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right)\). Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?

Do tấm tôn có diện tích bằng \(10{m^2}\) nên \(xy = 10 \Leftrightarrow y = \frac{{10}}{x}\)

Thùng có chiều cao là \(1\,m\) và các kích thước còn lại của thùng là: \(x - 2\) và \(y - 2\)

Thể tích của thùng là \(V\left( x \right) = 1.\left( {x - 2} \right)\left( {y - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {\frac{{10}}{x} - 2} \right) = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - 2x} \right)}}{x}\)

Suy ra: \(y = \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \frac{x}{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - 2x} \right)}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{x}{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - 2x} \right)}} =  + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{x}{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - 2x} \right)}} =  - \infty \)

\( \Rightarrow \) đường thẳng \(x = 2\)là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{x}{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - 2x} \right)}} =  - \infty \) và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \frac{1}{{V\left( x \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \frac{x}{{\left( {x - 2} \right)\left( {10 - 2x} \right)}} =  + \infty \]

\( \Rightarrow \) đường thẳng \(x = 5\)là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}\)

Vậy đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{{V\left( x \right)}}\) có 2 đường tiệm cận đứng.