\Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên \(R\backslash \left\{ { - 1;1} \right\}\), liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau

Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu tiệm cận ngang?

a) Đồ thị \(\left( C \right)\) có \(2\) đường tiệm cận đứng và \(x =  - 1\) và \(x =  - 5\). Vậy câu a) sai.

b) Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - {x^3} - 5{x^2} - 11x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} =  + \infty \] và \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} - x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - {x^3} - 5{x^2} - 11x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} =  - \infty \]. Dẫn đến \(y = x\) không là tiệm cận xiên của đồ thị \(\left( C \right)\).Vậy câu b) sai.

c) Đặt \(t = 6 - 4{\sin ^2}x \Rightarrow 2 \le t \le 6.\) Từ đó \[y = \frac{{{t^2} - 6t + 5}}{{{t^2} + 6t + 5}}\], với \(t \in \left[ {2;6} \right].\)

Ta có \[{y^/} = \frac{{12{t^2} - 60}}{{{{\left( {{t^2} + 6t + 5} \right)}^2}}}.\] Xét \[{y^/} = 0 \Leftrightarrow 12{t^2} - 60 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \sqrt 5 \,\,\left( l \right)\\t = \sqrt 5 \,\,\,\,\left( n \right)\end{array} \right.\]

\(y\left( 2 \right) = \frac{{ - 1}}{7},y\left( {\sqrt 5 } \right) = \frac{{3\sqrt 5  - 7}}{2},y\left( 6 \right) = \frac{5}{{77}}.\) Suy ra \(M = \frac{5}{{77}};\,\,\,\,m = \frac{{3\sqrt 5  - 7}}{2}\) hay \(77M + 2m = 3\sqrt 5  - 2.\) Vậy câu c) đúng.

d) \[h\left( x \right) = g\left( {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}}} \right) \Rightarrow {h^/}\left( x \right) = \frac{{12{x^2} - 60}}{{{{\left( {{x^2} + 6x + 5} \right)}^2}}}.{g^/}\left( {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}}} \right)\]

Xét \[{h^/}\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{12{x^2} - 60}}{{{{\left( {{x^2} + 6x + 5} \right)}^2}}} = 0\left( 1 \right)\\{g^/}\left( {\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}}} \right) = 0\left( 2 \right)\end{array} \right.\]

\[\left( 1 \right) \Leftrightarrow 12{x^2} - 60 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 5 .\]

Dựa vào đồ thị của hàm số \[y = {g^/}\left( x \right)\] ta có \[\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} =  - 1\,\,\,\left( 3 \right)\\\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = 1\,\,\,\left( 4 \right)\\\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = 4\,\,\,\left( 5 \right)\end{array} \right.\]

Giải \[\left( 3 \right)\]: \[\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} =  - 1 \Rightarrow {x^2} - 6x + 5 =  - {x^2} - 6x - 5 \Leftrightarrow 2{x^2} + 10 = 0\] (vô nghiệm)

Giải \[\left( 4 \right)\]: \[\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = 1 \Rightarrow {x^2} - 6x + 5 = {x^2} + 6x + 5 \Leftrightarrow x = 0\,\left( n \right)\].

Giải \[\left( 5 \right)\]: \[\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} + 6x + 5}} = 4 \Rightarrow {x^2} - 6x + 5 = 4{x^2} + 24x + 20 \Leftrightarrow 3{x^2} + 30x + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 5 + 2\sqrt 5 \,\,\left( n \right)\\x =  - 5 - 2\sqrt 5 \,\,\left( n \right)\end{array} \right.\]

Dẫn đến hàm số \[y = h\left( x \right)\] có \(5\) điểm cực trị. Vậy câu d) đúng.

a) \(y = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 2x + 6}}\).

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

\({y^/} = \frac{{{x^2} - 2x + 6 - \left( {2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 6} \right)}^2}}} \Leftrightarrow {y^/} = \frac{{ - {x^2} - 2x + 8}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 6} \right)}^2}}}.\)

Suy ra \({y^/} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 4\\x = 2\end{array} \right..\) Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 4;2} \right)\). Vậy câu a) đúng.

b) Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\). Vậy câu b) sai.

c) \({y^/} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 4;\,y = \frac{{ - 1}}{{10}}\\x = 2;\,\,y = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \(A\left( { - 4;\,\frac{{ - 1}}{{10}}} \right)\) và \(B\left( {2;\,\frac{1}{2}} \right)\) là \(\left( \Delta  \right):x - 10y + 3 = 0.\) Theo giả thiết, do \(d \bot \Delta \) nên \(1.\left( {2m + 3} \right) - 10.m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{3}{8}.\) Vậy câu c) đúng.

d) Đặt \[t = \cos x - \sqrt 3 \sin x + 1 \Leftrightarrow t = 2\left( {\frac{1}{2}.\cos x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x} \right) + 1 \Leftrightarrow t = 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) + 1\]; \(t \in \left[ { - 1;3} \right].\)Ta có \(g\left( t \right) = f\left( t \right) + {m^2} = \frac{{t + 1}}{{{t^2} - 2t + 6}} + {m^2},\,\,\,t \in \left[ { - 1;3} \right] \Rightarrow {g^/}\left( t \right) = \frac{{ - {t^2} - 2t + 8}}{{{{\left( {{t^2} - 2t + 6} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 4\,\left( l \right)\\t = 2\,\left( n \right)\end{array} \right..\) Ta tính được \(g\left( { - 1} \right) = {m^2},\,\,\,g\left( 2 \right) = \frac{1}{2} + {m^2},\,\,f\left( 3 \right) = \frac{4}{9} + {m^2}.\) Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;3} \right]} f\left( t \right) = {m^2} + \frac{1}{2}.\) Theo giả thiết, \({m^2} + \frac{1}{2} > 5 \Leftrightarrow {m^2} > \frac{9}{2} \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - \frac{{3\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{3\sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right).\) Kết hợp với \(m\) là số nguyên và \(m \in \left[ { - 2;2028} \right]\) ta suy ra có \(2026\) giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy câu d) sai.