Cho hàm số \(y = x - \frac{1}{{x + 1}}\,\,\) . Tìm \(m\) để đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm \(A,\,B\) sao cho \(OA\) vuông góc với \(OB\)

Chọn C

Phương trình giao điểm của đồ thị hàm số \(y = x - \frac{1}{{x + 1}}\,\,\,\,\left( C \right)\)   và đường thẳng \(\left( d \right)\,\,\,y = m\) là:

\(x - \frac{1}{{x + 1}}\,\, = m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne  - 1\\g\left( x \right) = {x^2} + \left( {1 - m} \right)x - 1 - m = 0\,\left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Để \(\left( C \right)\)cắt \(\left( d \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\,,\,B\)thì \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt khác \( - 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\g\left( { - 1} \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - m} \right)^2} - 4\left( { - 1 - m} \right) > 0\\1 - \left( {1 - m} \right) - 1 - m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m + 5 > 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \forall m \in \mathbb{R}\)

Khi đó ta có \(A\left( {{x_A};m} \right)\,\,,\,\,B\left( {{x_B};m} \right)\,\, \Rightarrow \overrightarrow {OA}  = \left( {{x_A};m} \right)\,\,,\,\,\overrightarrow {OB}  = \left( {{x_B};m} \right)\)

\(OA\) vuông góc với \(OB\)  \( \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0 \Leftrightarrow \,{x_A}.{x_B} + {m^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow  - 1 - m + {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\)