Cho hàm số \[y = \frac{{2x}}{{x + 2}}\] có đồ thị \[\left( C \right)\] và điểm \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\] \[\left( {{x_0} \ne 0} \right)\]. Xét tính đúng - sai của các phát biểu sau:

a) Tập xác định của hàm số trên là \(\mathbb{R}\).

b) Đồ thị hàm số \[\left( C \right)\] nhận đường thẳng \[y = 2\] là tiệm cận ngang.

c) Hàm số nghịch biến trên \[\left( { - \infty ; - 2} \right)\] và \[\left( { - 2; + \infty } \right)\].

d) Khi khoảng cách từ \[I\left( { - 2;2} \right)\] đến tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại \[M\] là lớn nhất thì \[2{x_0} + {y_0} =  - 4\].

a) Tập xác định của hàm số trên là \(\mathbb{R}\). Mệnh đề sai.

Vì tập xác định của hàm số là \[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\].

b) Đồ thị hàm số \[\left( C \right)\] nhận đường thẳng \[y = 2\] là tiệm cận ngang. Mệnh đề đúng.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{2}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{2}{{1 + \frac{2}{x}}} = 2\) nên \(y = 2\)là phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) Hàm số nghịch biến trên \[\left( { - \infty ; - 2} \right)\] và \[\left( { - 2; + \infty } \right)\]. Mệnh đề sai.

Ta có: \(y' = \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

\(y' > 0,\,\forall x \ne  - 2\) nên hàm số đồng biến trên \[\left( { - \infty ; - 2} \right)\] và \[\left( { - 2; + \infty } \right)\].

d) Khi khoảng cách từ \[I\left( { - 2;2} \right)\] đến tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại \[M\] là lớn nhất thì \[2{x_0} + {y_0} =  - 4\]. Mệnh đề đúng.

Phương trình tiếp tuyến của \[\left( C \right)\] tại \[M\] có dạng \[d:y = y'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\].

Ta có \[M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right)\]\[ \Rightarrow {y_0} = \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 2}}\]

Lại có \[y' = \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\]\[ \Rightarrow y'\left( {{x_0}} \right) = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\].

Do đó \[d:y = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 2}}\]

\[ \Rightarrow d:y{\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 4x - 4{x_0} + 2{x_0}\left( {{x_0} + 2} \right)\]\[ \Rightarrow d:4x - {\left( {{x_0} + 2} \right)^2}y + 2x_0^2 = 0\]

\[ \Rightarrow d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| { - 8 - 2{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2} + 2x_0^2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( {{x_0} + 2} \right)}^4}} }}\]\[ = \frac{{\left| { - 16 - 8{x_0}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^4} + 16} }}\]\[ = \frac{8}{{\sqrt {{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}} }}\].

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có

\[{\left( {{x_0} + 2} \right)^2} + \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}} \ge 2\sqrt {{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}.\frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}}  = 8 > 0\]\[ \Rightarrow d\left( {I;d} \right) \le 1\].

Dấu “\[ = \]” xảy ra \[ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = \frac{{16}}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\]\[ \Leftrightarrow {\left( {{x_0} + 2} \right)^2} = 4\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} =  - 4\end{array} \right.\]

Bài ra \[{x_0} \ne 0\] nên \[{x_0} =  - 4 \Rightarrow {y_0} = 4 \Rightarrow 2{x_0} + {y_0} =  - 4\].