Cho hàm số \(y = \frac{{2x - 3}}{{x + 1}}\). Các khẳng định sau đây đúng hay sai?

a) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\).

b) Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 1\).

c) Đồ thị hàm số có tất cả hai đường tiệm cận.

d) Đồ thị hàm số có giao điểm \(I\) của hai đường tiệm cận nằm trên đường thẳng \(\left( \Delta  \right):x + 2y - 3 = 0\).

a) Ta có  \(y' = 3{x^2} - 3\);   \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

\(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = 0\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,1} \right]} y = 0\).

Chọn ĐÚNG.

b) Ta có \(y' = 3{x^2} - 3\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

\(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = 0;f\left( 2 \right) = 4\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,2} \right]} y = f\left( 1 \right)\).

Chọn SAI.

c) Ta có \(y' = 3{x^2} - 3\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

\(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = 0;f\left( { - 1} \right) = 4\). Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1\,;\,0} \right]} y = 2;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,1} \right]} y = 2\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1\,;\,0} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,1} \right]} y = 4\).

Chọn ĐÚNG.

d) Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{y} = \frac{1}{{{x^3} - 3x + 2}}\) trên \(\left[ {\frac{{ - 3}}{2};0} \right]\), ta có:

\(g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 3}}{{{{\left( {{x^3} - 3x + 2} \right)}^2}}}\); \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\).

\(g\left( { - 1} \right) = \frac{1}{4}\); \(g\left( { - \frac{3}{2}} \right) = \frac{8}{{25}}\); \(g\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{3}{2};0} \right]} \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\).

Chọn SAI.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\(y' = f'(x) = 4{x^3} - 4x\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \vee x = 0 \vee x = 1.\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy

a)    Đúng.

b)    Sai.

c)    Sai.

d)    Đúng.Ta có

\[\begin{array}{l}f(2x) = 16{x^4} - 8{x^2} - 5\\ \Rightarrow f'(2x) = 64{x^3} - 16x\end{array}\]

Cho \(f'(2x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2} \vee x = 0 \vee x = \frac{1}{2}\)

Ta có bảng biến thiên sau:

Ta thấy hàm \(y = f(x)\) và \[y = f(2x)\] đều đạt cực đại tại \(x = 0\).