Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\] cho ba điểm \(M\left( {2;\,3;\, - 1} \right)\), \(N\left( { - 1;1;1} \right)\) và \(P\left( {1;m - 1;\,2} \right)\). Tìm \(m\) để tam giác \(MNP\) vuông tại \(N\).                                  

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho véc tơ \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 2} \right),\,\,\overrightarrow v  = \left( {1;0;m} \right)\). Giá trị của \(m\) (làm tròn đến hàng phần chục) để góc giữa \(\vec u\), \(\vec v\) bằng 45 độ là bao nhiêu?

Một căn nhà được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác \(OAB.O'A'B'\). Với hệ trục tọa độ \(Oxyz\)thể hiện như hình bên (đơn vị cm ), hai điểm \(A'\)và \(B'\)có tọa độ lần lượt là \(A'(240;420;0)\) và \(B'(120;420;300)\). Hãy tính độ lớn của góc \(\alpha \)(làm tròn đến hàng phần chục)

Trong không gian \[Oxyz,\] cho \(\vec a = \left( {1; - 4;3} \right)\) và \(\vec b = \left( {m - n;4m - 6n;{n^2} - 3m + 2} \right)\), với \(m,n\)là tham số.

a) Với \(m = 1;n = 2\) thì \(\overrightarrow b = \left( { - 1; - 8; - 3} \right)\)

b) Với \(m = 1;n = 0\) thì \(2\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {1; - 12;7} \right)\).

c) Tồn tại giá trị của \(m\) và \(n\) để \(\vec b = \vec 0\).

d) Nếu \(\vec a = \vec b\) thì \(m + n = 9\).

PHẦN III. CÂU TRẮC NGHIỆM TRẢ LỜI NGẮN

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\); \(D\left( {0;2;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;2} \right)\). Tính độ dài đoạn thẳng \(AC'\) ?

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A\left( { - 2;0;2} \right)\), \(B\left( {3; - 2;4} \right)\), \(C\left( {1;5; - 5} \right)\), \(A'\left( {3;5;7} \right)\), \(B'\left( {8;3;9} \right)\). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau?  

a) Trung điểm của đoạn thẳng \(BC\) có tọa độ là \(M\left( {2;\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)\).

b) Trọng tâm tam giác \(A'BC\) có tọa độ là \[G\left( {\frac{7}{3};\frac{8}{3};2} \right)\].

c) \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AB'} } \right) = \frac{{58}}{{\sqrt {33}  \cdot \sqrt {58} }}\).

d) Khi\(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ tam giác thì tọa độ trọng tâm \(G'\) của tam giác \[A'B'C'\] là \[G'\left( {\frac{{17}}{3};6;\frac{{17}}{3}} \right)\].

Trong không gian Oxyz cho các điểm \[A\left( {5;1;5} \right);{\rm{ }}B\left( {4;3;2} \right);{\rm{ }}C\left( { - 3; - 2;1} \right)\]. Trong các khẳng định sau, hãy chọn tính đúng sai.

              a) Tọa độ trọng tâm của tam giác \[ABC\]là \[G\left( {3;\,1;\,\frac{8}{3}} \right)\].

              b) \[AB = \sqrt {14} ;\,\,BC = 5\sqrt 3 \]

              c) Tam giác \[ABC\] là một ram giác vuông

              d) Gọi \[I\left( {a;b;c} \right)\] là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[ABC\]. Khi đó \[a + 2b + c = 3.\]